FUNCION DE VARIAS VARIABLES:
anak3011Tarea18 de Febrero de 2018
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[pic 1][pic 2]
GUIA DE TEORIA
UNIDAD I:
DERIVADAS PARCIALES
Profesor:
Pedro Colina
Maracaibo, Octubre 2.009
MATEMATICA III[pic 3][pic 4]
UNIDAD I. DERIVADAS PARCIALES
FUNCION DE VARIAS VARIABLES:
Una función f de dos variables, es una regla que asigna a cada par ordenado (x,y) en el conjunto D de números reales en su dominio, un número real único, denotado por [pic 5]. El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de valores que toma [pic 6].
Cuando se afirma que la función es de dos variables se refiere al número de variables independientes que definen a dicha función. La representación gráfica de este tipo de funciones sería en [pic 7], donde se consideran las variables independientes [pic 8] y la variable dependiente sería la letra [pic 9], o también se puede escribir [pic 10]
Son ejemplos de funciones de dos variables:
[pic 11]=[pic 12]
[pic 13]=[pic 14]
[pic 15]=[pic 16]
[pic 17]=[pic 18]
LIMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES.
Se denota el límite de una función f de dos variables [pic 19] por la expresión:
[pic 20]
Y se dice que el limite de [pic 21], conforme [pic 22] se aproxima a [pic 23] es L, si se puede acercar los valores de [pic 24] a L tanto como se quiera, siempre y cuando se tome el punto [pic 25] lo suficientemente cerca del punto [pic 26] pero sin que sea igual a este.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES.
Una función f de dos variables [pic 27] se dice que es continua en el punto [pic 28] si se cumple
[pic 29]
Una función f de dos variables [pic 30] se dice que es continua en el conjunto D si se cumple
[pic 31] en todos y cada uno de los puntos de D.
DERIVADAS PARCIALES
Sea la función f de dos variables [pic 32], donde suponga que decidimos variar solo a una de las variables y se toma a la otra variable como fija, digamos que se toma a la otra variable como una constante. Esto hace que la función sea de una sola variable, entonces se habla de derivada parcial respecto a alguna de las variables de f.
- Se denota a la derivada parcial de f respecto de x por: [pic 33],[pic 34]
- Se denota a la derivada parcial de f respecto de y por: [pic 35],[pic 36]
Si se desea evaluar a la derivada parcial de f respecto de x en el punto [pic 37] se denota por [pic 38]
Si se desea evaluar a la derivada parcial de f respecto de y en el punto [pic 39] se denota por [pic 40]
Además.
- [pic 41], donde [pic 42], se asume que b es una constante.
- [pic 43], donde [pic 44], se asume que b es una constante.
Recordando la definición de derivada respecto al límite, se puede escribir la derivada parcial de f respecto de x en el punto [pic 45], así:
[pic 46] , y de manera análoga:
La derivada parcial de f respecto de y en el punto [pic 47]
[pic 48]
Notaciones de derivadas parciales:
Si definimos a la función [pic 49] se puede denotar:
La derivada parcial de f respecto de x
[pic 50]
La derivada parcial de f respecto de x
[pic 51]
Reglas para hallar derivadas parciales
Para hallar [pic 52] considere a la letra y como constante y derive [pic 53] con respecto a x.
Para hallar [pic 54] considere a la letra x como constante y derive [pic 55] con respecto a y.
Ejemplo 1:
Si f(x,y)= x3 + x2y3 + 2 y2 , hallar las expresiones de [pic 56] y [pic 57].
Solución:
Hallamos primeramente [pic 58], hacemos y constante, al derivar respecto a x se obtiene: [pic 59]
Ahora se halla [pic 60], hacemos x constante, al derivar respecto a y se obtiene:
[pic 61]
Bien, si además piden evaluar esas derivadas parciales en el punto [pic 62].Se hace:
[pic 63]
[pic 64]
Ejemplo 2:
Si [pic 65], hallar las expresiones de [pic 66].
Solución:
Recordando usar la regla de la cadena para las funciones de una variable se tiene:[pic 67]
Con respecto de y se tiene:
[pic 68]
Ejercicios Propuestos:
En los siguientes ejercicios determine las derivadas parciales para la función.
[pic 69]
[pic 70]
[pic 71]
En los siguientes ejercicios determine las derivadas parciales para la función en el punto indicado.
[pic 72], evalúe en el punto (1,0)
[pic 73], evalúe en el punto (2,4)
[pic 74], evalúe en el punto (3,3)
[pic 75], evalúe en el punto (0,1)
[pic 76], evalúe en el punto (1,1)
[pic 77], evalúe en el punto (1,1)
[pic 78], evalúe en el punto (2,-1)
TABLA DE DERIVADAS
DERIVADAS DE VARIABLES | DERIVADAS DE FUNCIONES (Composición) | |||||||||
Función | La derivada | Función | La derivada | |||||||
1 | f (x) = | [pic 79] | f ‘ (x) = | [pic 80] | 31 | f (x) = | [pic 81] | f ‘ (x) = | [pic 82] | |
2 | f (x) = | [pic 83] | f ‘ (x) = | [pic 84] | 32 | f (x) = | [pic 85] | f ‘ (x) = | [pic 86] | |
3 | f (x) = | [pic 87] | f ‘ (x) = | [pic 88] | 33 | f (x) = | [pic 89] | f ‘ (x) = | [pic 90] | |
4 | f (x) = | [pic 91] | f ‘ (x) = | [pic 92] | 34 | f (x) = | [pic 93] | f ‘ (x) = | [pic 94] | |
5 | f (x) = | [pic 95] | f ‘ (x) = | [pic 96] | 35 | f (x) = | [pic 97] | f ‘ (x) = | [pic 98] | |
6 | f (x) = | [pic 99] | f ‘ (x) = | [pic 100] | 36 | f (x) = | [pic 101] | f ‘ (x) = | [pic 102] | |
7 | f (x) = | [pic 103] | f ‘ (x) = | [pic 104] | 37 | f (x) = | [pic 105] | f ‘ (x) = | [pic 106] | |
8 | f (x) = | [pic 107] | f ‘ (x) = | [pic 108] | 38 | f (x) = | [pic 109] | f ‘ (x) = | [pic 110] | |
9 | f (x) = | [pic 111] | f ‘ (x) = | [pic 112] | 39 | f (x) = | [pic 113] | f ‘ (x) = | [pic 114] | |
10 | f (x) = | [pic 115] | f ‘ (x) = | [pic 116]=[pic 117] | 40 | f (x) = | [pic 118] | f ‘ (x) = | [pic 119] | |
11 | f (x) = | [pic 120] | f ‘ (x) = | [pic 121] | 41 | f (x) = | [pic 122] | f ‘ (x) = | [pic 123] | |
12 | f (x) = | [pic 124] | f ‘ (x) = | [pic 125] | 42 | f (x) = | [pic 126] | f ‘ (x) = | [pic 127] | |
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS | DERIVADAS DE FUNCIONES (Composición) | |||||||||
13 | f (x) = | [pic 128] | f ‘ (x) = | [pic 129] | 43 | f (x) = | [pic 130] | f ‘ (x) = | [pic 131] | |
14 | f (x) = | [pic 132] | f ‘ (x) = | [pic 133] | 44 | f (x) = | [pic 134] | f ‘ (x) = | [pic 135] | |
15 | f (x) = | [pic 136] | f ‘ (x) = | [pic 137] | 45 | f (x) = | [pic 138] | f ‘ (x) = | [pic 139] | |
16 | f (x) = | [pic 140] | f ‘ (x) = | [pic 141] | 46 | f (x) = | [pic 142] | f ‘ (x) = | [pic 143] | |
17 | f (x) = | [pic 144] | f ‘ (x) = | [pic 145] | 47 | f (x) = | [pic 146] | f ‘ (x) = | [pic 147] | |
18 | f (x) = | [pic 148] | f ‘ (x) = | [pic 149] | 48 | f (x) = | [pic 150] | f ‘ (x) = | [pic 151] | |
19 | f (x) = | arcsen(x) | f ‘ (x) = | [pic 152] | 49 | f (x) = | arcsen(U) | f ‘ (x) = | [pic 153] | |
20 | f (x) = | arccos(x) | f ‘ (x) = | [pic 154] | 50 | f (x) = | arccos(U) | f ‘ (x) = | [pic 155] | |
21 | f (x) = | arctn(x) | f ‘ (x) = | [pic 156] | 51 | f (x) = | arctn(U) | f ‘ (x) = | [pic 157] | |
22 | f (x) = | arcctn(x) | f ‘ (x) = | [pic 158] | 52 | f (x) = | arcctn(U) | f ‘ (x) = | [pic 159] | |
23 | f (x) = | arcsec(x) | f ‘ (x) = | [pic 160] | 53 | f (x) = | arcsec(U) | f ‘ (x) = | [pic 161] | |
24 | f (x) = | arccsc(x) | f ‘ (x) = | [pic 162] | 54 | f (x) = | arccsc(U) | f ‘ (x) = | [pic 163] | |
25 | f (x) = | Senh(x) | f ‘ (x) = | Cosh (x) | 55 | f (x) = | Senh(U) | f ‘ (x) = | Cosh (U).U’ | |
26 | f (x) = | Cosh (x) | f ‘ (x) = | Senh (x) | 56 | f (x) = | Cosh (U) | f ‘ (x) = | Senh (U).U’ | |
27 | f (x) = | Tanh (x) | f ‘ (x) = | Sech² (x) | 57 | f (x) = | Tanh (U) | f ‘ (x) = | Sech² (U).U’ |
Nota: i) las letras: a, c, representan constantes cualesquiera y la letra e es la constante de Euler.
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