FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

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FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

MATEMÁTICA III

AUTORES:

Abad Santos, Asly Estefany (100%)

Ayala Clement, David (100%)

Cabrera Carrasco, Mabel Esthefany (100%)

Calle García, Annelly (50%)

Castillo García, Carol Yazmin (100%)

Castillo Masías, Karla (100%)

Cuivin Garay, Daniel Elías (50%)

Fiestas Yangua, Jair Josue (100%)

García Vera, José Humberto (100%)

Gonzales Sunción, Abraham (100%)

Juárez Yenque, Leady (100%)

Marchena Prieto, Diego Andree (100%)

Neira Alberca, Santos Christian (100%)

Torres Abad, Denisse Coraima (100%)

Vásquez Barcenes, Leyser Rolando (100%)

TEMA:

Trabajo de Unidad I

ASESOR:

Escobar Gomez, Eder

PIURA- PERÚ

2021

OBJETIVO GENERAL:

• Brindar a las personas el conocimiento sobre el tema de Funciones de varias variables, que se consideran fundamentales y con ello sea capaz de abordar más adelante solución a los problemas que se presenten.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

• Entender de forma práctica los conceptos y/o aplicarlos en la vida diaria.
• Tomar como base los ejemplos de los ejercicios resueltos y practicar para poder entender fácilmente.
• Aplicar elementos de funciones y de cálculo para describir modelos matemáticos, que permitan plantear, analizar y solucionar problemas matemáticos.

RESUMEN:

En muchos problemas aparecen varias variables independientes en una función, estas funciones tienen muchas aplicaciones en la ingeniería. Es por eso que la investigación realizada es un tema muy importante. Tiene como propósito hacer una presentación ordenada, para poder brindar a las personas el conocimiento suficiente sobre el tema de Funciones de dos variables y los sub temas que lo acompañan. Todo esto adicionándole el saber aplicar elementos de funciones y de cálculo de diversas variables para describir modelos matemáticos, que permitan plantear, analizar y solucionar problemas brindados.

A partir del tema realizado e investigado nosotros hemos aprendido a analizar, interpretar, e incluso aplicar métodos y estrategias de cálculo nos permitan resolver los ejercicios o situaciones que se presentan. Creemos conveniente que para todo ello se necesita de mucha práctica; pues estos ejercicios requieren de tomar mucha atención y que mejor que concentrarse y practicar a menudo para entender su solución.  

Es por esta razón que con mis compañeros queremos compartir este importante conocimiento y resolución de los ejercicios, los cuales contienen derivadas direccionales y vector gradiente, tratando de explicarlo de una manera fácil y paso a paso para un mejor entendimiento.

A todo esto, podemos concluir que, este trabajo de investigación será muy útil para las personas que lo adquieran. Así también se concluye principalmente que funciones varias variables son las que más aparecen en ingeniería y que si queremos aprender mucho más de esto es necesario seguir investigando y ponerlo en aplicación.

INTRODUCCIÓN:

El mundo en el que vivimos todo fenómeno, objeto o elemento está sujeto al estudio en tres dimensiones, por ello es importante entender, aplicar los criterios vectoriales de tal manera que logremos desarrollar las soluciones a las diferentes funciones que en nuestro diario trabajo podamos encontrar.

 La palabra derivada en nuestro entorno es algo que causa miedo a muchas personas por el hecho de que son cálculos complejos; pero que como todas las operaciones tienen sus reglas y maneras de hacerlo.  El objetivo de la presente investigación es aplicar elementos de funciones y de cálculo de diversas variables para describir modelos matemáticos, que permitan plantear, analizar y solucionar problemas brindados.

Así como para obtener la información se realizó una investigación teórica documental, que nos llevó a tener claro que una función de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variable independiente. En la mayoría de los campos es necesario establecer las relaciones de dependencia que existen entre variables. Si esta relación es funcional, se puede representar mediante funciones.

La importancia de la utilización de las funciones en la Ingeniería (como en muchos otros campos) radica en que gracias a ellas podemos describir cualquier variación o cambio de una cantidad. En la mayoría de los casos nos encontraremos con funciones que dependen de varias magnitudes.

 En particular en el campo de la Ingeniería Industrial se presentan de forma diaria. Desde las funciones producción, que permiten comparar los niveles de la misma en distintos puntos, hasta la necesidad de aplicación para funciones de maquinaria o equipo que toman en cuenta factores externos, así como los sistemas de fiabilidad de circuitos, la simulación o los softwares matemáticos utilizados diariamente en la industria.

A todo esto, sabemos que dentro de este tema se encuentran lo que es la derivada direccional y el vector gradiente, los cuales guardan relación pues la primera es el producto escalar del gradiente por el vector unitario que determina la dirección.

Finalmente, los resultados de esta Investigación permitirán comprender la definición de este tema tan importante, todo eso complementándolo con ejercicios para mejorar el entendimiento. Pues llevar este tema a las aplicaciones es el objetivo, ya que al ver cómo puede ser puesto en práctica, es más claro el concepto y su importancia en la Ingeniería

3.44 Derivada Direccional y Gradiente de una Función de Varias Variables.[pic 2]

Para z = f (x, y) se ha definido las derivadas parciales     de la siguiente forma.[pic 3]

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que representa la pendiente de las rectas tangentes en dos direcciones diferentes, en la dirección del eje X y en la dirección del eje Y respectivamente. Luego para determinar la pendiente de la recta tangente en una dirección arbitraria, definiremos un nuevo tipo de derivada llamada “Derivada Direccional” para esto tomemos z = f (x, y) la ecuación de una superficie y , la pendiente de la recta tangente en la dirección del vector unitario  arbitrario, la cual mostraremos en el gráfico.[pic 6][pic 7]

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El punto  se encuentra en la superficie S: z = f (x, y), la recta tangente  a la curva C es la razón de cambio de z en la dirección de .        [pic 9][pic 10][pic 11]

Si Q (x, h,b) es otro punto de C y P',Q' son las proyecciones de P y Q en el plano XY,

entonces el vector P Q' es paralelo al vector , entonces P'Q' = h n = (ha, h, b) para algún h real por lo tanto (x – x0 , y – y0) = (h,a,h,b), de donde:[pic 12]

  entonces  , entonces [pic 13][pic 14]

 [pic 15]

Si se toma limite cuando h —> 0, se obtiene la razón de cambio de z (con respecto a la distancia) en

la dirección de , la cual se llama derivada direccional de f en la dirección de [pic 16][pic 17]

DEFINICIÓN:         La derivada direccional de f en el punto P(x0,y0 ) en la dirección de un

        vector unitario ,  = (a,b) es:[pic 18]

  si existe limite z0[pic 19]

DEFINICIÓN:         La derivada parcial de f en el punto P(.x0, y0,z0) en la dirección de un vector unitario   = (a,b,c) es: [pic 21][pic 20]

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Generalizando y usando la notación vectorial.

DEFINICIÓN:         La derivada direccional de f en el punto , en la dirección del vector unitario[pic 24][pic 23]

  es:                                                                                                 , si es si este  límite existe. [pic 25]

Ejemplo: Hallar la derivada de la función f ( x , y ) = x3 - x y – 2y2 en el punto P(1,2) y en la dirección que va desde este punto al punto N(4,6).

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OBSERVACIÓN:

1) La derivada direccional da la razón de cambio de los valores de la función f(x,y) con respecto a la distancia en el plano XY, medida en la dirección del vector unitario   = (a,b)[pic 27]

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