Topicos De Matematica.Trabajo 2. UNA

INTRODUCCIÓN.

En el presente Trabajo Práctico se abordarán los objetivos # 2 y 3 de la asignatura Tópicos de Matemática.

En el objetivo # 2 se tratarán temas relacionados con Grafos, Matrices y la Optimización, como parte importante de la Matemática Discreta.

Con respecto a los grafos se destacan los Eulerianos y Hamiltonianos, así como también sus aspectos conceptuales, operatorios y su aplicación en la resolución de problemas. Los grafos son estructuras discretas compuestas por puntos (Vértices) y líneas (Aristas) que conectan algunos pares de esos puntos.

También se describen las matrices y las operaciones de adición y multiplicación que se realizan con éstas.

Por otro lado, se resalta la importancia de enseñar optimización en el aula.

En cuanto al objetivo # 3, se dan a conocer las Ecuaciones en Diferencia, a través de su definición y una serie de ejercicios de aplicación.

Posteriormente, se hace una caracterización del sistema de votación utilizado en Venezuela y se resuelven ejercicios que se corresponden con la Toma de Decisiones.

Finalmente, se define lo que es una Clasificación y una Partición; del mismo modo, se establece la importancia de enseñar la Teoría de Conjunto en las clases de Matemáticas.

OBJETIVO # 2: EXPLICAR GRAFOS, MATRICES Y OPTIMIZACIÓN EN CUANTO A SUS ASPECTOS CONCEPTUALES, OPERATORIOS Y DE APLICACIONES.

Actividad 3.1.1

Usted deberá leer la lectura 5: Grafos (redes y circuitos) y extraer las ideas claves de dicha lectura.

Las ideas clave de esta lectura están referidas principalmente al tema de Grafos: su definición, elementos y clasificación.

Se describe que un Grafo G, es un par (V,E) donde V es un conjunto formado por los vértices y E un subconjunto constituido por las aristas; los vértices son los puntos del grafo y las aristas son las líneas que unen dichos puntos. También se hace referencia a que un vértice puede tener cero o más aristas, pero toda arista debe unir sólo a dos vértices.

Así mismo se mencionan algunos ejemplos de Grafos: los Regulares, Bipartitos, Completos y Bipartidos Regulares.

En dicha lectura, se destacan fundamentalmente los Grafos Eulerianos y los Grafos Hamiltonianos.

Los Grafos Eulerianos son aquellos que tienen un ciclo euleriano, es decir, que poseen un camino que contiene a todas las aristas del grafo, una sola vez, y además finalizan en el mismo vértice del ciclo.

Por otro lado, los Grafos Hamiltonianos son aquellos que tienen un ciclo Hamiltoniano, o sea, recorren todos los vértices del grafo sin pasar dos veces por ese mismo vértice, además, terminan en el mismo punto por donde comenzó dicho recorrido.

De la misma manera, se describen otro tipo de grafos, como lo son los Grafos Árboles y los Grafos Planos (Mapas).

Finalmente, se habla sobre coloraciones de grafos y el Teorema de los Cuatro Colores, relacionados con los mapas geográficos.

Actividad 3.1.3

Haga tres listas de los elementos clave, expuestos en la lectura, referidos a: Aspectos conceptuales, operatorios y de aplicación, y resolución de problemas.

Categorías Lista 1 Lista 2 Lista 3

Aspectos

Conceptuales. Aristas

(Líneas) Vértices

(puntos)

Caminos

Aspectos

Operatorios y de

Aplicación.

Grafo Euleriano

(Camino Euleriano)

Grafo Hamiltoniano

(Camino Hamiltoniano)

_Circuitos

_Redes

_Mapas

Los Grafos son una abstracción útil para modelar

situaciones reales como Ejem: Redes de computadoras,

Resolución de redes telefónicas ó eléctricas, circuitos eléctricos,

Problemas. sistemas de carreteras y distribución de mercancías y

sistemas organizacionales.

Actividad 4.1.2

Usted deberá proponer una actividad sencilla, donde el alumno llegue la conclusión de qué es una matriz, tipos de matrices y propiedades de la adición y multiplicación de matrices.

Título: Matrices.

Objetivos: Reconocer una matriz, sus elementos y los diferentes tipos de ellas, además de las propiedades de la adición y multiplicación de matrices.

Destinatarios: Alumnos de 5to año de Educación Media General.

Conocimiento previos del Alumno: Concepto de vectores, columna, fila, diagonal.

Que se persigue con esta actividad: Que el estudiante comprenda lo que es una matriz y su utilidad en diferentes ámbitos de la vida cotidiana.

Desarrollo:

El docente comienza haciendo una breve exposición sobre el origen de las Matrices; les explica a los estudiantes que las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

El docente también les indica la versatilidad de las matrices en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Por otra parte, se les menciona que las matrices sirven de gran apoyo a ciencias como la Economía, Estadística, Informática, Física, etc.; en fin, las matrices son herramientas de enorme utilidad para representar y analizar situaciones de la vida real.

A continuación se les informa a los alumnos, cuál es la actividad a desarrollar en el aula.

El docente les muestra un cuadro como el siguiente, en el que se presenta la compra de una compañía que fabrica muebles, correspondiente al primer cuatrimestre del año, expresada en unidades de medida UM.

Madera Tela Goma Espuma

Enero 7 6 4

Febrero 3 2 3

Marzo 4 4 2

Abril 5 4 3

Seguidamente, se les ordena que supriman la fila y la columna, de los rubros y los meses respectivamente.

Una vez realizado este procedimiento, los alumnos deben constatar que quede la siguiente tabla:

7 6 4

3 2 3

4 4 2

5 4 3

Luego, se instruye a los estudiantes para que eliminen las celdas y dejen sólo los números encerrados dentro de paréntesis, obteniendo el siguiente modelo:

7 6 4

3 2 3

4 4 2

5 4 3

En este preciso momento, el docente les indica a los estudiantes, que este modelo corresponde a una matriz, y les pregunta de acuerdo a lo observado ¿Qué es una matriz?, ¿Cuáles son sus características?.

Posteriormente, les proporciona un modelo similar al anterior, que muestra la relación de uso de los materiales comprados durante el primer cuatrimestre del año por la misma fábrica:

7 5 3

2 0 2

3 4 1

2 3 3

De acuerdo a lo que los estudiantes hayan ido deduciendo sobre las matrices, el docente les hace preguntas como las siguientes:

¿Cuántas unidades de madera fueron usadas el primer mes?

¿Cuántas unidades de goma espuma quedaron el tercer mes?

¿Cuántas unidades de tela se usaron el cuarto mes?

Acto seguido, el docente procede a dar la definición formal de Matrices:

Una Matriz mxn (o de tamaño mxn) es un arreglo rectangular formado por mxn elementos de un cuerpo V, distribuidos en m filas y n columnas. Por Ej., el elemento a32, será el elemento de la fila 3 y columna 2.

También les aclara que a éstas se les asignan nombres de acuerdo al número de filas, columnas y elementos que tengan: matriz cuadrada, matriz fila, matriz columna, matriz nula, matriz identidad, matriz triangular y matriz diagonal.

Finalmente, se les explica que para sumar dos matrices A y B, éstas deben tener igual orden, es decir, el mismo número de filas y columnas y que para multiplicar dos matrices cualesquiera, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda; los alumnos deben percatarse que la adición de matrices es conmutativa, mientras que la multiplicación de éstas, no cumple con esta propiedad.

Actividad 5.1.2

Usted deberá extraer las ideas clave de la lectura y hacer una propuesta de una actividad, vinculada a la cotidianidad de los estudiantes, para enseñar optimización en el aula.

Las ideas clave de la lectura # 7, están referidas básicamente a problemas de optimización que se presentan en la vida diaria.

Hay que resaltar, que un problema de optimización es aquel en el cual el objetivo fundamental es obtener un valor máximo o un valor mínimo de alguna variable.

La optimización está muy presente en la vida cotidiana, en la naturaleza, en la tecnología, en las ciencias naturales, en las ciencias sociales y obviamente en la matemática misma.

En esta lectura se puede observar, como dos cilindros que poseen igual superficie lateral, presentan volúmenes diferentes; se comprueba que los volúmenes son inversamente proporcionales a sus alturas, es decir, que tendrá mayor

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