Trabajo Programación Estocastica

Modelo General:

En esta sección se describe el modelo probabilístico para el caso general en el cual se cuenta con K válvulas distintas. De forma general, se cumplen las siguientes condiciones:

• El modelo corresponde a una Cadena de Márkov de Tiempo Continuo, ya que la revisión de las válvulas se hace de forma continua, y no en ciertos periodos de tiempo definidos.
• Las variables de estado Xt se representan mediante un vector de unos y ceros en la que la posición i del mismo determina si la válvula i está en funcionamiento o no, haciendo uso de la siguiente notación: Las válvulas que funcionan se representan con (1) y las válvulas que fallan se representan con (0). Por ejemplo, si se tienen 4 válvulas y todas funcionan, entonces Xt=1111. Si se tienen 4 válvulas y fallan la 1 y la 3 entonces Xt=0101.
• Las distribuciones de las fallas y las revisiones se asumen de forma general del tipo exponencial, pues este tipo de distribución satisface la propiedad markoviana (Proceso sin memoria).
• El espacio de estados del sistema (S) corresponde a todas las posibles combinaciones de los posibles estados de las K válvulas. El cardinal de S es 2k.

En la siguiente imagen se ilustra el grafo asociado a la cadena:

[pic 1]

Figura 1. Grafo de la Cadena.

En la anterior figura, se inicia con k válvulas funcionando, el estado I1, I2, …, IK representa que la válvula 1,2, …, k está averiada, respectivamente. En este sentido, I12 representa que las válvulas 1 y 2 están averiadas y los demás estados funcionan de manera similar. Los daños se presentan con una tasa de fallo λi, i=1, 2, …,k y las reparaciones se realizan con una tasa μi, i=1, 2, …,k, excepto cuando todas las válvulas fallan (Estado 0), en cuyo caso se reparan todas las válvulas con una tasa μ.

Distribuciones de Probabilidad – Caso de 10 Válvulas:

En el sistema deseado, se cuenta con 10 válvulas. Los datos contenidos en el archivo Excel adjunto muestran registros de las fechas en las que ocurre cada fallo, las fechas en las que ocurre cada reparación y cuanto tardan las mismas. En este sentido, las variables aleatorias de interés en este proyecto serán:

• El tiempo (en días) entre fallas de cada válvula.
• El tiempo (en días) entre reparaciones de cada válvula.
• El tiempo (en días) que tarda en realizarse una revisión general.

Los análisis estadísticos que se van a presentar se realizaron en Python. El procedimiento general para determinar las distribuciones de las variables descritas anteriormente es el siguiente:

1. Calcular la diferencia de tiempo entre eventos (para las fallas y las reparaciones) y la diferencia entre inicio y fin de reparaciones para determinar el tiempo que duran.
2. Graficar histogramas de los transformaciones realizadas y descritas anteriormente. Por cuestiones de espacio, los histogramas se anexan en un archivo de Excel.
3. A partir de la forma de su distribución empírica se hipotetizará cual puede ser la función de densidad de probabilidad correspondiente al fenómeno aleatorio.
4. Para determinar los parámetros de la distribución se usará la media y varianza muestral y, a partir de estas, se calculará el verdadero valor estimado de los parámetros. Para validar la correcta elección se usaran los cuantiles 25%, 50% y 75%.
5.  Finalmente, para determinar si la distribución escogida es la correcta, se realizará el test de Kolmogorov – Smirnov.

A continuación se muestra el procedimiento general, aplicado a los datos de fallas:

A partir de los histogramas, es posible concluir que todas las distribuciones son sesgadas a izquierda, por lo cual el supuesto de distribución exponencial tiene dos justificaciones: Propiedad Markoviana y Forma de la distribución de los datos. A continuación se presentan estadísticas descriptivas para todas las válvulas:

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Tabla 1. Estadísticas descriptivas de fallas.

A partir de las estadísticas descriptivas se postulan los parámetros candidatos para las distintas distribuciones exponenciales. Al aplicar la prueba de Kolmogorov – Smirnov se obtienen los siguientes resultados:

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Tabla 2. Resultado de prueba Kolmogorov - Smirnov de fallas.

A continuación se muestra el procedimiento general, aplicado a los datos de revisiones:

A partir de los histogramas, es posible concluir que todas las distribuciones son sesgadas a izquierda, por lo cual el supuesto de distribución exponencial tiene dos justificaciones: Propiedad Markoviana y Forma de la distribución de los datos. A continuación se presentan estadísticas descriptivas para todas las válvulas:

[pic 4]

Tabla 3. Estadísticas descriptivas de revisiones.

A partir de las estadísticas descriptivas se postulan los parámetros candidatos para las distintas distribuciones exponenciales. Al aplicar la prueba de Kolmogorov – Smirnov se obtienen los siguientes resultados:

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Tabla 4. Resultado de prueba Kolmogorov - Smirnov de revisiones.

A continuación se muestra el procedimiento general, aplicado a los datos de tiempos entre revisiones totales:

A partir de los histogramas, es posible concluir que todas las distribuciones son sesgadas a izquierda, por lo cual el supuesto de distribución exponencial tiene dos justificaciones: Propiedad Markoviana y Forma de la distribución de los datos. A continuación se presentan estadísticas descriptivas para los tiempos de revisión:

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