Ecuaciones Diferenciales Unidad 1
Enviado por cescrguez • 23 de Abril de 2013 • 1.769 Palabras (8 Páginas) • 405 Visitas
1-1 Teoría preliminar
1-1.1 Definición (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad)
En aquella ecuación que contiene una o más derivada, de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
NOTA: una derivada se puede expresar de diferentes formas
Tipos de ecuaciones diferenciales
Existen 2 tipos de ecuaciones diferenciales:
1.- Ordinarias.- este tipo de ecuaciones son las que contienen una o más derivada con una o más variables dependientes pero con respecto a tan sólo una variable independiente
Ejemplo.
Si notamos la variable independiente es la misma para las 3 y las variables dependientes son diferentes para las tres.
1.-Parciales.- esta es la ecuación que contiene derivadas con una o más variables dependientes pero con respecto a dos o más variable independiente.
Ejemplo.
Orden de una ecuación diferencial
Este es el orden que tiene la ecuación según la derivada que sea mayor, (es decir que se derive más veces
El orden de la ecuación es la “n” mayor)
Ejemplo.
Grado de una ecuación
Es el número del potencial o de la elevación de una ecuación, con respecto a la derivada mayor
Linealidad de una ecuación
Es si tiene la siguiente forma según su orden
Ecuación diferencial de primer orden:
Ecuación diferencial lineal de orden n:
Donde las son funciones y
Ejemplo.
1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales
Decimos que es una solución de la ecuación diferencial , en el intervalo si
Para toda . Es decir, una solución, es una función definida en algún intervalo que al sustituirla en la ecuación la transforma en una identidad para todo .
Ejemplo
La función es solución de la ecuación diferencial ordinaria para toda .
Derivando la función obtenemos que
Ejemplo
La función es solución de la ecuación diferencial para toda .
Derivando la función y sustituyendo obtenemos que
Ejemplo
La función es solución de la ecuación diferencial parcial
En todo .
Calculando las derivadas parciales
Al sustituir obtenemos una igualdad
Recuerde que no toda ecuación diferencial que se nos ocurra tiene solución, por ejemplo, para la ecuación diferencial
no existe una función real derivable que la satisfaga, pues el lado derecho es negativo y el lado izquierdo positivo. De aquí en adelante vamos a suponer que las soluciones que buscamos son reales y que el intervalo es el adecuado que permita que la solución tenga sentido.
1.1.3 Problema del valor inicial.
En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera.
Definición
Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de orden y de condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Es decir
Es decir
Ejemplo
Una partícula se mueve a lo largo del eje de manera tal que su aceleración en cualquier tiempo está dada por . Encuentre la posición de la partícula en cualquier tiempo, suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en y está viajando a una velocidad de .
Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería
Integrando con respecto a x obtenemos
Y usando la condición podemos hallar que , con lo cual la velocidad en cualquier tiempo t sería
Integrando de nuevo
Y usando la condición podemos determinar qué y obtener la posición de la partícula en cualquier tiempo
En la figura 7 se muestra la gráfica de la posición de la partícula versus tiempo.
1.1.4 Teorema de existencia y unidad
Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues,
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