Una unidad imaginaria que está establecida como , y se representa con la letra

Actividad 1.1 “Lluvia de ideas”

Respuestas de las preguntas del problemario.

1. Defina la unidad imaginaria.

Una unidad imaginaria que está establecida como  , y se representa con la letra  . Por lo tanto:[pic 1][pic 2]

 = i[pic 3]

1. ¿A que llamamos numero complejo?

Llamamos número complejo a la combinación de un número real y un número imaginario.

1. ¿Cómo se representa el conjugado de número complejo y su negativo?

El conjugado de  de un número complejo , está dado por .[pic 4][pic 5][pic 6]

1. ¿De qué manera se comprueba que dos números complejos son iguales?

Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales son iguales, así como sus partes imaginarias.  si y solo si  y .[pic 7][pic 8][pic 9]

1. ¿Cuál es la metodología para sumar y restar dos números complejos en la forma x+yi?

Para poder sumar y restar números complejos se suman o restan por separado las partes reales así como las imaginarias. Ejemplos:

[pic 10]

[pic 11]

1. ¿Qué procedimiento se utiliza para multiplicar dos números complejos en la forma x+yi?

En el producto de dos números complejos se multiplica término a término como si se tratase del producto de dos binomios y sustituyendo la  por . Ejemplo:[pic 12][pic 13]

[pic 14]

 [pic 15]

1. ¿Qué sistema coordenado se utiliza para representar gráficamente un numero complejo en la forma x+yi?

El sistema que se usa para representar gráficamente un número complejo es mediante la forma polar.

Introducción

Debido a que la operación de la raíz cuadrada de un numero negativo no está definida para números reales, se establece que la cantidad √-1=i, se representa con la letra i llamándose a esta la unidad imaginaria.

√-1=i

x+yi Es la forma rectangular o canónica de un numero complejo donde x y y son números reales mientras que i es la unidad imaginaria, llamándose a yi numero imaginario puro.

El numero complejo x+yi tiene como conjugado x-yi y viceversa, es decir, solamente cambian de signo las partes imaginarias. Por ejemplo 2-3y y 2+3i son conjugados.

El número complejo x+yi tiene como negativo –x-yi y recíprocamente, es decir, cambian de signo tanto las partes reales como imaginarias. Por ejemplo -4+2i tiene como negativo 4-2i.

Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales son iguales, así como sus partes imaginarias. X+yi=a+bi si y solo si x=a y y=b.

Ejemplo

Hallar los valores de x y y que cumplan con la relación dada

• X+3i = -2+yi

Igualando las partes reales así como las imaginarias tenemos:

X=-2        y          3=y

Operaciones con números complejos en la forma rectangular o canónica

Siendo:

i0=1

i1=i

i2=-1

i3=-i

i4=1

Ejemplo

• √-49

Se sustituye √-1=i y las potencias de i y se simplifica.

√49√-1=7

• 2√-32

=2√16 (2) √-1

=2(4) √2i

=8√2i

Adición y sustracción de números complejos

Para sumar y restar números complejos se suman o restan por separado las partes reales así como las imaginarias.

Ejemplo:

• (-1+2i) + (3+i) = (-1+3)+(2+1)i= 2+3i

Producto de números complejos

En el producto de dos números complejos se multiplica termino a término como si se tratase del producto de dos binomios y sustituyendo la i2 por -1.

Ejemplo:

• (3+4i) (2-i)

 = 3(2) + 3(-i) + 4(2)i + 4(-i)i

= 6 – 3i + 8i – 4i2

= 6 + 5i – 4 (-1])

= 6 + 5i + 4

= 10 + 5i

División de números complejos

Utilizamos un proceso muy parecido a la racionalización, multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de este último y se sustituye i2 por -1 esto  ayudara a eliminar los imaginarios del denominador para convertirlos en reales.

[pic 16]

Potencia de un número complejo

Para elevar un número complejo a un exponente entero y positivo se efectúa como si se tratara de productos de binomios y se sustituyen los valores de las potencias de i.

[pic 17]

Actividad 1.2 “Te llego la hora”

Descripción de la actividad:

1. Diferentes estudiantes resolverán en el pizarrón los siguientes ejercicios.

1.  [pic 18][pic 19]

[pic 20]

1. [pic 21]

1.  [pic 22]

1. [pic 23]

1. [pic 24]

Ejercicios 1.1 Operaciones con números complejos en la forma rectangular o canónica

Expresar en función de i

• -4√64

=-4√64√-1

 = -4(8)i

= -32i

• 4√-81 - 3√-36 + 4√25

=4√81√-1 - 3√36√-1 + 4√25

=(4)(9)(i) – (3)(4)(i) + 4(5)

=36i – 18i + 20

=20+18i

Efectuar las operaciones y simplificar

• (-2+5i) - (3-2i)

=(-2-3) + (5+2)i

=-5+7i

• [pic 25]

[pic 26]

=1-i

División de números complejos en su forma polar

Formula:

[pic 27]

Potencia de números complejos en forma polar

Teorema de MOIVRE

[pic 32]

Raíces de los números complejos en su forma polar

...