Una unidad imaginaria que está establecida como , y se representa con la letra
José MartinezTarea6 de Marzo de 2016
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Actividad 1.1 “Lluvia de ideas”
Respuestas de las preguntas del problemario.
- Defina la unidad imaginaria.
Una unidad imaginaria que está establecida como , y se representa con la letra . Por lo tanto:[pic 1][pic 2]
= i[pic 3]
- ¿A que llamamos numero complejo?
Llamamos número complejo a la combinación de un número real y un número imaginario.
- ¿Cómo se representa el conjugado de número complejo y su negativo?
El conjugado de de un número complejo , está dado por .[pic 4][pic 5][pic 6]
- ¿De qué manera se comprueba que dos números complejos son iguales?
Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales son iguales, así como sus partes imaginarias. si y solo si y .[pic 7][pic 8][pic 9]
- ¿Cuál es la metodología para sumar y restar dos números complejos en la forma x+yi?
Para poder sumar y restar números complejos se suman o restan por separado las partes reales así como las imaginarias. Ejemplos:
[pic 10]
[pic 11]
- ¿Qué procedimiento se utiliza para multiplicar dos números complejos en la forma x+yi?
En el producto de dos números complejos se multiplica término a término como si se tratase del producto de dos binomios y sustituyendo la por . Ejemplo:[pic 12][pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
- ¿Qué sistema coordenado se utiliza para representar gráficamente un numero complejo en la forma x+yi?
El sistema que se usa para representar gráficamente un número complejo es mediante la forma polar.
Introducción
Debido a que la operación de la raíz cuadrada de un numero negativo no está definida para números reales, se establece que la cantidad √-1=i, se representa con la letra i llamándose a esta la unidad imaginaria.
√-1=i
x+yi Es la forma rectangular o canónica de un numero complejo donde x y y son números reales mientras que i es la unidad imaginaria, llamándose a yi numero imaginario puro.
El numero complejo x+yi tiene como conjugado x-yi y viceversa, es decir, solamente cambian de signo las partes imaginarias. Por ejemplo 2-3y y 2+3i son conjugados.
El número complejo x+yi tiene como negativo –x-yi y recíprocamente, es decir, cambian de signo tanto las partes reales como imaginarias. Por ejemplo -4+2i tiene como negativo 4-2i.
Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales son iguales, así como sus partes imaginarias. X+yi=a+bi si y solo si x=a y y=b.
Ejemplo
Hallar los valores de x y y que cumplan con la relación dada
- X+3i = -2+yi
Igualando las partes reales así como las imaginarias tenemos:
X=-2 y 3=y
Operaciones con números complejos en la forma rectangular o canónica
Siendo:
i0=1
i1=i
i2=-1
i3=-i
i4=1
Ejemplo
- √-49
Se sustituye √-1=i y las potencias de i y se simplifica.
√49√-1=7
- 2√-32
=2√16 (2) √-1
=2(4) √2i
=8√2i
Adición y sustracción de números complejos
Para sumar y restar números complejos se suman o restan por separado las partes reales así como las imaginarias.
Ejemplo:
- (-1+2i) + (3+i) = (-1+3)+(2+1)i= 2+3i
Producto de números complejos
En el producto de dos números complejos se multiplica termino a término como si se tratase del producto de dos binomios y sustituyendo la i2 por -1.
Ejemplo:
- (3+4i) (2-i)
= 3(2) + 3(-i) + 4(2)i + 4(-i)i
= 6 – 3i + 8i – 4i2
= 6 + 5i – 4 (-1])
= 6 + 5i + 4
= 10 + 5i
División de números complejos
Utilizamos un proceso muy parecido a la racionalización, multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de este último y se sustituye i2 por -1 esto ayudara a eliminar los imaginarios del denominador para convertirlos en reales.
[pic 16]
Potencia de un número complejo
Para elevar un número complejo a un exponente entero y positivo se efectúa como si se tratara de productos de binomios y se sustituyen los valores de las potencias de i.
[pic 17]
Actividad 1.2 “Te llego la hora”
Descripción de la actividad:
- Diferentes estudiantes resolverán en el pizarrón los siguientes ejercicios.
- [pic 18][pic 19]
[pic 20]
- [pic 21]
- [pic 22]
- [pic 23]
- [pic 24]
Ejercicios 1.1 Operaciones con números complejos en la forma rectangular o canónica
Expresar en función de i
- -4√64
=-4√64√-1
= -4(8)i
= -32i
- 4√-81 - 3√-36 + 4√25
=4√81√-1 - 3√36√-1 + 4√25
=(4)(9)(i) – (3)(4)(i) + 4(5)
=36i – 18i + 20
=20+18i
Efectuar las operaciones y simplificar
- (-2+5i) - (3-2i)
=(-2-3) + (5+2)i
=-5+7i
- [pic 25]
[pic 26]
=1-i
División de números complejos en su forma polar
Formula:
[pic 27]
Cuando se tiene una división de números complejos en forma polar se divide el modulo del dividendo entre el del divisor y se resta el argumento del divisor a del dividendo | Ejemplo [pic 28][pic 29] |
Usamos la fórmula: [pic 30] | [pic 31] |
Obtenemos el resultado en forma polar: | 4(cos60°+isen60°) |
Potencia de números complejos en forma polar
Teorema de MOIVRE
[pic 32]
Para usar el teorema de MOIVRE, el numero complejo debe de estar en forma polar | Ejemplo [4(Cos20°+iSen20°)[pic 33] |
Usamos la fórmula: [pic 34] | 43[Cos(3)(20°)+iSen(3)(20°)] |
Lo cual nos da como resultado: | 64(Cos60°+iSen60°)= 64[pic 35] |
Simplificamos: | [4(Cos20°+iSen20°) = 32+32[pic 36][pic 37] |
Raíces de los números complejos en su forma polar
Para calcular la n raíces enésimas de un número complejo en la forma polar utilizaremos el teorema DE MOIVRE.
[pic 38]
Las tres raíces cubicas de -4[pic 39] | Lo anterior puede expresarse como: (-41/3[pic 40] |
Para aplicar el teorema DE MOIVRE debemos transformar el número complejo en la forma polar. Y para transformar u numero complejo “x+yi” a su forma polar se requiere obtener “r” y “, debido a que en el punto P se forma un triángulo rectángulo se usan las siguientes formulas:[pic 41] r= r= modulo[pic 42] r≥0 tan=[pic 43][pic 44] [pic 45] [pic 46] | Calculamos el modulo: r= [pic 47] r= [pic 48] =[pic 49] r=[pic 50] r=8 Ahora calculamos el argumento: tan=[pic 51][pic 52] tan= = [pic 53][pic 54][pic 55] [pic 56] |
Primero teníamos la expresión en forma rectangular así: (-41/3[pic 57][pic 58] Después lo convertimos a la forma polar calculando el modulo y el argumento y la expresión quedaría así: [pic 59] Esta expresión se es lo mismo que elevar el término a 1/3. [pic 60] | Y ahora si podemos aplicar esta fórmula: [pic 61] Obtenemos lo siguiente aplicando la formula: [pic 62] Y esto es igual a: [pic 63] Simplificando tenemos: 2[Cos(45°+k(120°)) + iSen(45°+k(120°))] |
“k” toma valores enteros no negativos desde K=0,1,2….(n-1) Por lo tanto sustituiremos el valor de la “k”, y como el exponente es “3”, tendremos tres “k” K=n-1 K=3-1=2 K=2-1=1 K=1-1=0 Sustituimos el valor de k=0 2[Cos(45°+0) + iSen(45°+0)] = 2(Cos45°+iSen45°) =[pic 64] [pic 65] Sustituimos el valor de k=1 2[Cos(45°+120°) + iSen(45°+120°)] = 2(Cos165°+iSen165°) =2(-0.97+0.26i )= -1.93+0.52i Sustituimos el valor de k=2 2[Cos(45°+240°) + iSen(45°+240°)] = 2(Cos285°+iSen285°) =2(0.26-0.97i) =0.52-1.93i |
Actividad 1.3 “Mini casos”
1. Formar equipos de cuatro estudiantes como máximo para plantear el problema.
Instrucciones: Describa la metodología para determinar todas las raíces de la ecuación, , utilizando el teorema “DE-MOIVRE”.[pic 66]
[pic 67] | |
[pic 68] | Se pasan los valores al otro lado del signo de igual. |
[pic 69] | Se sacan las raíces. |
[pic 70] | Se usa el teorema DE MOIVRE |
[pic 71] | Se suman los resultados |
[pic 72] | Es el resultado |
...