Unidad 2. Funciones Concepto de Variable
Fernando DiazTarea23 de Febrero de 2019
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Unidad 2. Funciones
Concepto de Variable
Variable: del término en latín variabilis, variable es una palabra que representa a aquello que varía o que está sujeto a algún tipo de cambio. Se trata de algo que se caracteriza por ser inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo. Este conjunto suele ser definido como el conjunto universal de la variable (universo de la variable, en otras ocasiones), y cada pieza incluida en él constituye un valor de la variable.
Como podrán advertir, las variables son elementos presentes en fórmulas, proposiciones y algoritmos, las cuales pueden ser sustituidas o pueden adquirir sin dejar de pertenecer a un mismo universo, diversos valores. Cabe mencionar que los valores de una variable pueden enmarcarse dentro de un rango o estar limitados por situaciones de pertenencia.
Puede hablarse de distintos tipos de variable, pero en esta unidad del curso trabajaremos con las variables dependientes e independientes: las variables dependientes, que son aquellas que dependen del valor que se le asigne a otros fenómenos o variables; las variables independientes, cuyos cambios en los valores influyen en los valores de otra.
Definición. Producto cartesiano
Si A y B son dos conjuntos no vacíos, el producto cartesiano de A por B, denotado A × B, es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y), donde el primer elemento x pertenece al conjunto A (se denota x∈A) y el segundo elemento y pertenece al conjunto B (se denota y ∈B). En símbolos
A × B = {(x, y) | x∈ A ∧ y ∈ B} | |
Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} y | B = {a, b} entonces por la | |
definición | {( 1,a ),( 1,b ),( 2,a ),( 2,b ),( 3,a ),( 3,b )} | |
A × B = |
[pic 1]
cada elemento de este conjunto es una pareja. Por ejemplo ( 2,a )∈ A× B
Definición. Relación
El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.
Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo: Samuel es padre de Irma (Samuel, Irma) podríamos simbolizar: Samuel Irma
Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre todos o algunos elementos del primer conjunto con uno o más del segundo conjunto. Otra manera de definir una relación matemática es como un subconjunto del producto
Cálculo Diferencial-ITVH
[pic 2]
cartesiano A× B . Entonces S es una relación de | A | en | ||
B si y solamente si | ||||
S ⊆ A × B | ||||
Ejemplo 1. Sea A = {1,4,6} y B = {2 ,3,7} | ||||
relación S: x mayor que | y | |||
El producto cartesiano es | ||||
⎧(1,2), | (1,3), | (1,7),⎫ | ||
A × B = ⎨⎪(4,2), | (4,3), | (4,7),⎬⎪ | ||
⎪(6 ,2), | (6 ,3), | (6 ,7),⎪ | ||
⎩ | ⎭ | |||
S = {(4,2),(4,3),(6 ,2),(4,3)}⊂ A× B | ||||
S | ||||
A | B | |||
1 | 2 | |||
4 | 3 | |||
6 | 7 |
[pic 3]
Definición. Función
Una función f de un conjunto A a un conjunto B es una
correspondencia que asigna exactamente un elemento y
de B a cada elemento x de A. Desde un punto de vista
formal, se dice que f es una función o aplicación de A en B y se denota
f
f : A B o A B
- satisface:
- ∀ x ∈A ∃ y ∈ B (x , y)∈ f
- Si (x, y)∈ f ∧ (x , z)∈ f ⇒ y = z
[pic 4]
f | ||||||
Conjunto A | Conjunto B | |||||
x | y | |||||
1 | 1 | |||||
x | 2 | y2 | ||||
y3 | ||||||
x | ||||||
3 | ||||||
x | 4 | y | 4 | |||
x5 | y5 | |||||
El elemento | y ∈ B es el valor | de f en x (o la imagen | ||||
de x bajo | f ) y se denota por | f (x) que se lee “ f de x”. |
[pic 5]
El conjunto A es el dominio de la función.
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Unidad 2. Funciones
[pic 6]
El rango de f es el subconjunto R ∈B formado por todos los valores posibles f (x) ∀ x ∈ A
El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los elementos que puede transformar. Se
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