Ejercicios Matematica financiera

Soluciones de EDO

[pic 1]

1. Una ley de velocidad de enésimo orden a menudo se usa para modelar reacciones químicas que dependen únicamente de la concentración de un solo reactivo:

[pic 2]

Donde:

c = Concentración (moles)

t =Tiempo(min)

n=Orden de la reacción

k= Constante de velocidad (min – 1mol1 – n).

El método diferencial se puede usar para evaluar los parámetros k y n. Esto implica aplicar una transformación logarítmica a la ley de velocidad para producir:

[pic 3]

Por lo tanto, si la ley de enésimo orden tiene una gráfica de log (– dc/dt) versus log(c) debería producir una línea recta con una pendiente n y una intersección de log(k). Use el método de diferencias finitas divididas y regresión lineal para determinar k y n dados los siguientes datos para la conversión de cianato de amonio a urea.

[pic 4]

• Solucion.

Por medio del método de diferencias divididas se ajusta una serie de datos a un polinomio, la cual está representada por su ecuación general:

[pic 5]

Para lo cual es necesario realizar una tabla en la cual se determinará una aproximación de la razón de cambio de los datos, haciendo uso de la siguiente ecuación:

          Donde f representa la razón de cambio de los datos. Los cálculos se muestran a continuación:

[pic 6]                                                     

                                            Tabla 1. Datos y aproximaciones de las derivadas.

A partir de esta tabla se determina que:

𝑎0 = 0,75

𝑎1 = −0.0312

𝑎2 = 0,00092

𝑎3 = −1,8933x10−5

𝑎4 = 3,0049𝑥10−7

Por tanto, al reemplazar los datos obtenidos en la ecuación 1, agrupar términos semejantes y simplificar obtenemos la siguiente ecuación:

[pic 10]

[pic 11]

Obteniendo los resultados:

[pic 12]

La línea roja en la gráfica representa a la curva del polinomio de Newton, mientras que las cruces azules representan los datos experimentales observándose que la curva corta cada uno de estos puntos, además de que los datos arrojados por el software son casi idénticos.

[pic 13]

[pic 14]

Ahora se procede a determinar el orden (n) de la reacción y la constante de velocidad cinética (k), por medio del siguiente algoritmo:

Clear All Clc

disp('Este programa calcula la constante de velocidad y el orden de la reacción')

disp('con los siguientes datos suministrados de tiempo y concentración')

disp(' ')

t=[0 5 15 30 45]';

C=[0.75 0.594 0.42 0.291 0.223]';

M=5;N=M-1;

disp(' Tiempo         Concentración ')

disp([t C]);

for i=1:N

c(i,1)=(C(i+1)-C(i))/(t(i+1)-t(i));

end

c; % Calcula Dc/dt

disp( ' Dc/dt Cpromedio Cprom^1.5 ')

for i=1:M-1

Cprom(i)=(C(i+1)+C(i))/2;

CCprom(i)=Cprom(i)^1.5;

end

Cprom=Cprom';CCprom=CCprom';

disp([c Cprom CCprom])

cc=log(abs(c));CC=log(Cprom);Cn=log(CCprom);

A=[ones(size(CC)) CC];

coef=A\cc;

k =exp(coef(1));

n =coef(2);

ccc=(log(0.75):-0.01:log(0.223))';

Dcdt=[ones(size(ccc)) ccc]*coef;

loglog(CC,cc,'o',ccc,Dcdt,'-m');

title('Grafica de concentración vs velocidad de reacción');

xlabel('Concentración','Fontsize',10);

ylabel('Velocidad de reacción','Fontsize',10);

text(-10^0.04,-10^0.7,'-dC/dt=K*C^n','Fontsize',10);

legend('Exp','Cal','Location','NorthWest')

legend boxoff

disp( '|*************************************************|' )

disp( '| La ecuación en forma logarítmica es: |' )

disp( '| log(-dC/dt)= log(k) + nlog(C) |' )

fprintf('| La seudo constante de velocidad es k = %3.5f\n|',k)

fprintf('| La pendiente de la recta es n = %3.4f \n |',n)

disp( '|*************************************************|' )

Los resultados y el grafico arrojados por el software se muestran a continuación:

Este programa calcula la constante de velocidad y el orden de la reacción
con los siguientes datos suministrados de tiempo y concentración

  Tiempo                Concentración
                  0   0.750000000000000
  5.000000000000000   0.594000000000000
 15.000000000000000   0.420000000000000
 30.000000000000000   0.291000000000000
 45.000000000000000   0.223000000000000

Dc/dt Cpromedio Cprom^1.5
 -0.031200000000000   0.672000000000000   0.550876073177988
 -0.017400000000000   0.507000000000000   0.361003937651655
 -0.008600000000000   0.355500000000000   0.211962682741562
 -0.004533333333333   0.257000000000000   0.130286580275944

|*************************************************|
| La ecuación en forma logarítmica es: |
| log(-dC/dt)= log(k) + nlog(C) |
| La seudo constante de velocidad es k = 0.06858
|| La pendiente de la recta es n = 2.0037
||*************************************************|

[pic 15]

                                       Imagen 2. Grafica obtenida

La grafica es diferente a la primera puesta que en esta última se utilizaron escalas logarítmicas. Concluimos que el orden de la reacción es aproximadamente de 2, y la constante de velocidad cinética es 0.06858 (mol.min)-1 , indicando que la reacción es lenta.

1. Considere el flujo de un fluido newtoniano en una tubería, expresado por la ecuación diferencial de segundo orden:

[pic 16]

[pic 17]

Donde:

                           ∆𝑃 = 2.8 × 105𝑃𝑎        𝜇 = 0.492 𝑃𝑎 ∗ 𝑠        𝐿 = 4.88 𝑚        𝑅 = 0.0025 𝑚

Resuelva la ecuación diferencial con valores en la frontera usando:

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