Variable de estado

Capítulo 2

[pic 3]Modelos Matemáticos de Sistemas Dinámicos

En  primer  lugar  se  aplican  las  leyes  físicas  del  proceso  y  se  obtiene  una  ecuación diferencial (lineal o no lineal). Si no es lineal, existen métodos de linealización.

Como paso previo a la obtención del modelo de un sistema dinámico, es necesario conocer una herramienta matemática de vital importancia para obtener la función de transferencia de un sistema lineal: la transformada de Laplace.

En el desarrollo del curso se usarán tablas de transformadas de Laplace.

2.1 Modelo en el Espacio de Estado

Primer caso: La función excitadora no incluye términos derivativos. Sea el siguiente sistema de orden n:

d n  y(t )

+ a

d n−1 y(t )

+ ... + a

dy(t ) + a

y(t ) = u(t )

(2.1)

dt n

1      dt n−1

n−1     dt        n

Esta ecuación puede ser convertida en n ecuaciones diferenciales de primer orden, para ello se tiene que elegir n variables, con la siguiente asignación:

x1 (t ) = y(t ) x 2 (t ) = y& (t ) x3 (t ) = &y&(t )

M

[pic 4]x  (t ) =

d n−1 y(t )

n                   dt n −1

Ahora se obtienen las ecuaciones de estado (n ecuaciones diferenciales de primer orden)

x&1 (t ) = y& (t ) x&2 (t ) = &y&(t ) x&3 (t ) = &y& (t )

M

⇒   x&1 (t ) = x2 (t )

⇒        x&2 (t ) = x3 (t )

⇒        x&3 (t ) = x4 (t )

x&n

d n  y(t ) (t ) =

dt n

⇒        x&n

(t ) = −an

x1 (t ) − a

n −1 x2

(t ) − ... − a1 xn

(t ) + u(t )

[pic 5]El conjunto de ecuaciones de estado, se representa matricialmente así:

࣮ x&1 ࣹ    ࣮  0          1

0       L  0 ࣹ ࣮ x1 ࣹ

࣮0ࣹ

࣯ x&  ࣺ    ࣯  0          0

1       L  0 ࣺ ࣯ x  ࣺ

࣯0ࣺ

࣯  2 ࣺ = ࣯

ࣺ ࣯  2 ࣺ + ࣯ ࣺ u

࣯ M   ࣺ    ࣯  M          M

M                       M               M   ࣺ ࣯ M ࣺ

࣯ M ࣺ

࣯   ࣺ    ࣯

ࣺ ࣯   ࣺ    ࣯ ࣺ

ࣰ x&n ࣻ

ࣰ− an

− an−1

− an−2

L  a1 ࣻ ࣰ xn ࣻ

ࣰ1ࣻ

y su forma normalizada es la siguiente:

[pic 6]x&  =

A x + Bu

Escalar de entrada Vector de estado Vector de estado derivado

( 2 .2 )

Si consideramos que la salida del sistema y es la variable x1, entonces dicha salida se puede escribir de la siguiente manera:

࣮ x1 ࣹ

࣯    ࣺ

y = [1    0   L

0] ࣯ x2 ࣺ

࣯ M   ࣺ

࣯    ࣺ

ࣰ xn ࣻ

o en su forma compacta

y = Cx + Du

(2.3)

donde:

BT   = [1    0   L

0   1]      ;

C = [1    0   L

0]  ;

D = [0]   ;

[pic 7]࣮  0         1

...