Variables De Estado

6.3 Variables de estado

De acuerdo con la presentación de la sección 6.1, se estudiarán en este capítulo sistemas dinámicos de múltiples entradas y múltiples salidas como los de las figuras 6.1 y 6.2.

El modelo matemático de estos sistemas serán las ecuaciones (6.21) y (6.22) para los casos continuos y discretos, respectivamente; en ambos casos la primera ecuación, que contiene la dinámica del sistema, se denomina ecuación de estado y la segunda ecuación de salida.

En las ecuaciones (6.21) y (6.22) , , y son matrices reales cuyas dimensiones están especificadas en (6.6), mientras que , , son los vectores definidos en (6.3), que contienen las variables de entrada, salida y estado respectivamente.

Nótese que la dinámica del sistema está representada en la ecuación de estado, pues es allí en donde aparecen las derivadas o las diferencias, mientras que la ecuación de salida es algebráica.

Las figuras 6.5 y 6.6 muestran dos diagramas de bloques que representan las ecuaciones 6.21 y 6.22 respectivamente. Para interpretar adecuadamente estos diagramas es necesario tener en cuante que:

1. Las flechas representan vectores de señales y los bloques , , y matrices.

2. El bloque en la figura 6.5 corresponde a la función de transferencia de un integrador que opera sobre cada una de las señales de entrada de forma independiente.

3. El bloque en la figura 6.6 corresponde a la función de transferencia de un bloque de retardo que opera sobre cada una de las señales de entrada de forma independiente.

4. Como en todo diagrama de bloques con funciones de transferencia, se han supuesto condiciones iniciales nulas.

6.3.1 El concepto de estado

¿Qué son las variables de estado? una posible aproximación es pensar en ellas como variables matemáticas auxiliares que permiten representar el comportamiento de sistemas mediante ecuaciones como (6.1) y (6.2), que en el caso de sistemas lineales invariantes en el tiempo se convierten en (6.21) y (6.22).

No obstante, existe otra posible interpretación: Los sistemas dinámicos se rigen por ecuaciones diferenciales y de diferencia; este tipo de ecuaciones tienen una única solución unicamente si se establece un conjunto de condiciones, denominadas condiciones auxiliares; usualmente éstas determinan en el instante de tiempo considerado como inicial, y por tanto se denominan condiciones iniciales.

De lo anterior se desprende que para conocer el comportamiento de un sistema dinámico se necesita cierta información adicional a la sóla ecuación diferencial. Este hecho justifica la siguiente definición:

Definición 6.1 Estado

El Estado de un sistema en el tiempo (o en si es discreto) es la cantidad de información necesaria en ese instante de tiempo para determinar de forma única, junto con las entradas , el comportamiento del sistema para todo (o para todo si es discreto)

De acuerdo con la definición 6.1, las variables de estado serán variables que muestran cómo evoluciona el estado del sistema, es decir, serán variables que contienen la información necesaria para predecir la evolución del comportamiento del sistema en forma única.

También suelen definirse las variables de estado como cualquier conjunto de variables que describa el comportamiento del sistema, siempre y cuando ese conjunto sea del menor tamaño posible.

Cualquiera que sea la interpretación que se adopte, debe tenerse presente que:

• Las variables de estado pueden tener o no sentido físico.

• Las variables de estado pueden o no ser medibles.

• Para un mismo sistema dinámico las variables de estado no son únicas; de hecho, se pueden definir infinitos conjuntos de variables que sirvan como variables de estado.

Ejemplo 6.21 Para conocer el comportamiento de un circuito RLC serie como el de la figura 6.7 es necesario establecer los valores de y , por esta razón, las variables y sirven como variables de estado.

La aplicación de las leyes de Kirchhoff en el circuito da como resultado

Estas ecuaciones pueden organizarse de la siguiente forma

O en forma matricial:

Supóngase que en el circuito se quiere estudiar el comportamiento de las variables e , es decir, que seleccionamos estas variables como las salidas del sistema. Dado que , podremos escribir la ecuación

En

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