Uniadad 1 De Calculo Vectorial

1.1- DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN R2, R3 Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Un objeto en las matemáticas que posea magnitud así como dirección es la definición perfecta de un vector. Los elementos pertenecientes a Rn representan el vector. Diferentes valores de n representan diferentes vectores con diferente comportamiento. Por ejemplo, cuando n = 1, esto es, R1 = R representa una escala o un punto en el vector. R2 representa un vector de la forma (x1, x2), R3 representa un vector de la forma (x1, x2, x3).

Existen dos propiedades importantes de los vectores R2:

1). Suma de los vectores R2: Si p y q son dos vectores de la forma R2 entonces p + q = (p1, p2) + (Q1, Q2) = (p1 + q1, p2 + q2).

2). Producto Escalar: Considere B ? R y un vector P en R2, en este caso el producto escalar es de la forma

B (p1, p2) = (B p1, B p2).

Vamos a considerar la interpretación geométrica de la Sumatoria de los vectores R2:

De la figura se puede concluir que si p = (p1, p2) y q = (q1, q2), entonces mediante la reasignación de la representación de p y q, la suma resulta ser (p1, p2) + (q1, q2) = (p1 + q1, p2 + q2). Esta regla se conoce como:“Suma del Paralelogramo”.

Estos vectores R2 también pueden ser divididos en dos componentes los cuales son perpendiculares entre sí. Estos componentes son generados con respecto al sistema de coordenadas el cual pueden ser de múltiples dimensiones.

El vector componente está relacionado con el componente escalar b, de forma que:

= Vx i^

= Vy j^

Similar al vector R2, R3 también posee las propiedades:

1.Suma de vectores R3: Si p y q son dos vectores de la forma R3 entonces p + q = (p1, p2, p3) + (q1, q2, q3) = (p1 + q1, p2 + q2, q3 + p3).

2.Producto Escalar: Considere B ? R y el vector P en R3, en este caso el producto escalar es de la forma

B (p1, p2, p3) = (Bp1, Bp2, Bp3).

Otra propiedad importante de los vectores R2 y R3 es conocida como superposición. Esta es la combinación de la suma vectorial y la multiplicación escalar. De acuerdo con esta, si existen dos vectores A y B y los escalares a y b, entonces la superposición puede ser representada como: aA + bB

Uno puede encontrar el vector variable señalizado con un signo negativo. Este signo negativo indica dirección opuesta y no una magnitud negativa. Por lo tanto, un caso específico de la propiedad de la superposición es cuando a = 1 y b = −1. En este caso, obtenemos

(1)A + (−1) B = aA - bB

Por lo tanto, se conoce como sustracción. Estas propiedades de superposición y sustracción también pueden ser aplicadas a los vectores de R3.

Veamos un ejemplo de R3.

Considere el vector R3 y un vectorR3

La suma y la resta de los vectores son bastante fáciles, por tanto observando la multiplicación de estos dos vectores, obtenemos

=

1.2.- INTRODUCCION A LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

Campos escalares y vectoriales

A pesar de ser utilizadas constantemente en el campo de la física, las cantidades escalares y vectoriales ocupan un lugar importante en las Matemáticas.

En física, un campo escalar se utiliza para definir la energía potencial de una fuerza particular.

También se utiliza para definir el campo gravitatorio en el tema de la teoría escalar de gravitación.

En Matemáticas, el campo escalar también es conocido como “función del espacio”.

Un campo escalar es el responsable de asociar todas las posiciones dentro de un espacio determinado con un número real.

Por ejemplo: Considere una sala de tres dimensiones en la cual hay un calentador y un aire acondicionado encendidos en distintos rincones.

En un momento, en alguna parte del centro de la sala se puede encontrar una temperatura variante.

Por tanto, cuando la posición cambia, la temperatura también cambia.

Es decir, la temperatura T puede ser considerada como una función de x, y, z, es decir, T(x, y, z).

Aquí T es el campo escalar. El valor del campo escalar es invariante independientemente de la rotación del sistema de coordenadas.

Ahora, considere nuevamente la sala donde el aire fluye rápidamente en alguna parte y se mueve lentamente en otra parte.

Este movimiento de aire se denomina velocidad.

Por consiguiente, esta velocidad es también una función que puede ser escrita como v(x, y, z).

Esta velocidad es diferente de la de la temperatura por el hecho de que la dirección está asociada con la velocidad y no con la temperatura.

Entonces, la descripción del aire está dividida en dos partes: la rapidez y su dirección, por este motivo es considerado un campo vectorial.

Las aplicaciones del campo vectorial incluyen la Transformada de Fourier, la Optimización, la teoría de juegos, el teorema mínimas, junto con algunas teorías importantes, como la teoría de grupos y la teoría de la representación.

Inclusive, si son consideradas todas las aplicaciones de los campos vectoriales la lista puede extenderse ampliamente en longitud.

Existen ciertas operaciones que pueden ser aplicadas en los campos vectoriales.

1) Integral de Línea: Se determina una integral de línea cuando el campo vectorial es integrado a lo largo de la curva.

Por ejemplo, considere una partícula en movimiento en el cual la fuerza que actúa a lo largo del campo gravitatorio es representada por un vector.

Entonces la integral de línea del vector indica el trabajo realizado por la partícula para moverse a lo largo de la curva.

Si V es el campo vectorial y Y representa la curva, la cual está parametrizada en [0, 1], entonces la integral de línea es representada como:

2) Divergencia: La divergencia de la función en tres dimensiones es definida como

3) Rotacional: Es una operación que produce un campo vectorial a partir de otro campo vectorial. Está definido específicamente para 3D.

Un campo escalar y uno vectorial difieren por la respuesta de las coordenadas a la transformación de las coordenadas.

Una coordenada puede utilizarse para describir un vector, mientras que un escalar representa una coordenada.

Consideremos un ejemplo de la búsqueda del gradiente del campo vectorial de la función:

Para una función de dos dimensiones, estamos obligados a omitir el tercer componente del vector de la fórmula anterior.

Por tanto, el vector gradiente de la función correspondiente es dado como

f = (2x sin (5y), 5×2 cos (5y))

1.3.- LA GEOMETRIA DE LAS OPERACIONES VECTORIALES

La geometría de las operaciones vectoriales:

Un vector está caracterizo completamente por su magnitud y su dirección.

Por ejemplo: 20 km al sur. Aquí 20 kilómetros es la magnitud y se acompaña de la dirección, es decir, hacia el sur.

También puede estar muy bien representado por un segmento de recta dirigido. Es por esta razón que un segmento de recta dirigido también puede ser llamado vector.

Existe una gran cantidad de operaciones que pueden ser aplicadas sobre los vectores.

La operación más comúnmente realizada en los vectores es la suma y multiplicación de vectores.

Entre la variedad de operaciones, se incluyen la adición de dos vectores, la resta de dos vectores, el producto escalar y cruz de dos vectores, los cuales se pueden realizar en los vectores, el producto escalar y el cruz, guardan mayor importancia.

El producto interno o escalar de dos vectores y inclinado en un ángulo es ab cos .

En consecuencia, = | | | | cos = ab cos .

Estos productos escalares y de cruz también pueden interpretarse geométricamente:

De acuerdo con esto, el producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de cualquiera de los vectores y la proyección del otro en su dirección.

Sea = , = y el ángulo BOA =

Por definición, . = ab cos

Donde a = | | = OA

B = | | = OB

Desde B, dibujamos BL OA y desde A, dibujamos AM OB.

Por tanto, OL = Proyección de OB en OA

= Proyección de b en a

= O Bcos 0

= b cos 0

OM = Proyección de OA en OB

= Proyección de a en b

= OA cos 0 = a cos 0

Ahora bien, a . b = abcos 0

= a (b cos 0 )

= OA (Proyección de OB en OA)

= | | (Proyección de en la dirección de )

Nuevamente. = ab cos = b(a cos )

= OB (Proyección de OA en OB)

= | | (Proyección de en la dirección de )

Hay ciertas cosas que son dignas de mencionar en esta interpretación geométrica del producto escalar:

1). Proyección de en la dirección de = = . = a^. .

2). Proyección de en la dirección de = = = b^. .

El producto vectorial de dos vectores y inclinado en un ángulo \ theta es un vector cuya magnitud es ab sin y la dirección es perpendicular al plano y .

Al igual que el producto escalar, el producto vectorial también puede ser visto geométricamente como:

Sea = , =

| x | = ab sin

= 2 (1/2 ab sin )

= 2 áreas de triángulo ABD

= áreadel paralelogramo ABCD cuyos lados adyacentes son y.

Por tanto, x = es el vector área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son y .

De hecho, x es el vector área de la cara del paralelogramo que mira hacia el observador en la figura.

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