Álgebra 7 Factorización

Unidad 3. Factorización.

1) Concepto de Factorización.

Factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores.

Ejemplo.

Factorización de un polinomio: No todo polinomio se puede factorizar, pues del mismo modo que en aritmética existen cantidades que solo son divisibles entre ellas mismas y entre la unidad, también en álgebra existen polinomios con estas mismas características.

En este curso se estudiará la manera de factorizar polinomios cuando si es posible descomponerlos en dos o más factores.

Los casos que se estudiarán son:

• Factor común monomio.
• Diferencia de cuadrados.
• Trinomio cuadrado.
• Factor común polinomio.
• Trinomio cuadrado perfecto.
• Suma o diferencias de cubos.

2) Factor común monomio.

Procedimiento.

Se obtiene el máximo común divisor de todos los coeficientes de los términos del polinomio, a continuación se escriben solo la o las letras que se repiten en todos los términos con su menor exponente, formando así el primer factor que se denominará factor común monomio. Para encontrar el segundo factor, cada término del polinomio se divide entre el factor común monomio.

Ejemplos. Factorizar.

1. 10b – 30ab2 =

1. 10a2 – 5a + 15a3 =

1. a2 + ab =

1. x2 + x =

1. x3 – 4x4 =

1. ab – bc =

1. 2a2x + 6ax2 =

1. 9a3x2 – 18ax3 =

1. 35m2n3 – 70m3 =

1. 24a2xy2 – 36x2y4 =

1. 4x2 – 8x + 2 =

1. a3 – a2x + ax2 =

1. x3 + x5 – x7 =

1. 34ax2 + 51a2y – 68ay2 =

1. 18mxy2 – 54m2x2y2 + 36my2 =

Ejercicio

3) Diferencia de cuadrados.

Se dice que una cantidad es cuadrado perfecto cuando resulta de multiplicar dos cantidades iguales.

Ejemplos

Una diferencia de cuadrados perfectos es el resultado de multiplicar dos binomios conjugados tal como se vio en productos notables.

Este caso de Factorización es precisamente lo contrario al caso de productos notables de binomios conjugados. Ahora se trata de encontrar los dos binomios conjugados a partir de la diferencia de cuadrados.

Procedimiento.

Se extrae la raíz cuadrada a los dos términos, se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.

Ejemplos.

1. x2 – y2 =

1. a2 – 4 =

1. 1 – 4m2 =

1. a2 – 25 =

1. 4a2 – 9 =

1. 1 – 49a2b2 =

1. a2b8 – c2 =

1. a10 – 49b12 =

1. 100m2n4 – 169y6 =

1. 196x2y4 – 225z12 =

1. 1 – 9a2b4c6d8 =

1. [pic 1] 

1. [pic 2]

1. [pic 3]

1. [pic 4]

Ejercicio

4) Trinomio cuadrado

Un trinomio cuadrado es un polinomio de tres términos, de segundo grado absoluto. Pueden tener dos formas:

1. Trinomio cuadrado de la forma x2 + bx + c
2. Trinomio cuadrado de la forma ax2 + bx + c

La diferencia radica en el primer término solamente, el primero tiene coeficiente uno y el segundo tiene coeficiente diferente de uno.

En el primer término aparece una letra cualquiera elevada al cuadrado, el segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera, el tercer término es independiente del primero y es una cantidad cualquiera.

Ejemplos:

Trinomios de la forma x2 + bx + c                        Trinomios de la forma ax2 + bx +c

x2 + 5x + 6                                                2x2 + 11x + 5

a2 – 2a – 15                                                3a2 + 7a - 6

m2 + 5m – 14                                                10n2 – n - 2

y2 – 8y + 15                                                7m2 – 23m + 6

5) Factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c.

Este caso de Factorización es lo contrario al caso de productos notables de binomios con término común. Se trata entonces de encontrar los dos binomios con el término común.

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