EL ORIGEN DE LA DEMOSTRACION: ENSAYO DE EPISTEMOLOGIA DIDACTICA

Introducción

La demostración ocupa en matemáticas un lugar central pues es el método de prueba cuyo empleo sistemático

caracteriza esta disciplina entre las otras ciencias. Se comprende entonces que tenga un papel importante en el

currículo escolar (donde en Francia aparece desde los 13 años). Constituye entonces un objeto de estudio a priori

privilegiado para el didacta de l as matemáticas, aún más si se tiene en cuenta que su introducción está llena de

dificultades para muchos alumnos. Toda investigación sobre su enseñanza plantea el problema de su historia, al

igual que para cualquier concepto matemático, aunque la demostrac ión no sea propiamente un concepto, sino más

bien una técnica. Este artículo se dedica al estudio del origen, de la génesis de la demostración, bajo un punto de

vista que precisaremos más adelante. No abordaremos el problema de su evolución ulterior, es de cir la historia del

rigor en matemáticas. Sobre esta pregunta, hacemos referencia a Lakatos (1984) y su abundante bibliografía.

El problema de la génesis, de la aparición de una noción, puede aclarar el de su enseñanza, si se piensa utilizar las

condiciones históricas de esta génesis como guía para crear en la clase las condiciones de una génesis artificial de

esta misma noción en el alumno. Desafortunadamente, a pesar del lugar de la demostración en matemáticas, la

literatura sobre ella es poco abundantecon excepción de Szabo (1977), a quien nos referiremos con frecuencia.

Seguramente esta situación tiene dos razones de naturaleza diferente. Por una parte, parece que para los

matemáticos, la demostración está orgánicamente relacionada con las matemáticas y aparece de manera natural en el

curso de su desarrollo, sin que esta aparición plantee problemas a priori; así por lo menos podemos interpretar el

silencio de los matemáticos a su respecto. Por otra parte, el estudio histórico del tema es difícil, como lo explicamos

a continuación.

En efecto, si bien existe un acuerdo sobre el lugar y la época de la aparición de la demostración en Grecia, en el

siglo V antes de Cristo, no hay unanimidad sobre los detalles de la historia. Los documentos de esa época son

prácticamente inexistentes, y la historia de las matemáticas de este período es conocida sobretodo por comentadores

griegos tardíos y los raros extractos de textos originales que ellos citan, y por los textos contemporáneos o apenas

posteriores de Platón, textos que hablan de matemáticas pero que no son textos matemáticos. Así, la historia aporta

difícilmente una respuesta a la pregunta de cómo apareció la demostración, y todavía más difícilmente a la pregunta

del por qué. Sin embrago, la importancia del problema obliga a pensar en él, a establecer un diálogo entre el

historiador y el didacta, en el cual este último no sea solamente un cliente. Esperamos en efecto mostrar a

continuación que ciertas herramientas desarrolladas para el análisis didáctico puedenaportar un punto de vista nuevo

a los problemas históricos, precisar las preguntas, e incluso sugerir algunas respuestas.

Aquí hay un primer ejemplo: en la lengua francesa corriente, e incluso en matemáticas, las palabras prueba y

demostració n son consideradas como sinónimos. El estudio de los debates de validación entre alumnos que trabajan

en un mismo problema llevó a Nicolas Balacheff (1987), basado en el estudio de los contra ejemplos, errores y

refutaciones en el desarrollo histórico de l as matemáticas debido a Lakatos(1984), a distinguir cuidadosamente las

palabras validación, prueba y demostración, atribuyéndoles sentidos precisos que designan tipos de argumentación

diferentes empleados por un locutor para convencer un interlocutor de la veracidad de una afirmación. Esta

distinción es indispensable si se trata de responder a la pregunta: ¿cuando aparece la demostración en matemáticas?

si no, esta pregunta no problematizada es demasiado general y el historiador cree demasiado fácilmente ver aparecer

demostraciones en las matemáticas prehelenicas. Se encuentran ejemplos a propósito de la matemática hindú en Van

Der Waerden (1983, p.23), o egipcia en Keller (1986, p 46).

Veremos, en el numeral I, cómo el análisis citado de Nicolas Balacheff permite atribuir realmente a los griegos la

invención de la demostración, sin negar a sus predecesores toda forma de prueba en el sentido que precisaremos. De

manera paradójica, podremos decir incluso que el siglo V antes de Cristo marca en los Griegos, engeometría, el

paso de la prueba a la demostración. Esbozaremos en el numeral III lo que serían los antecedentes (prolegomenos)

de la demostración.

En la situación precedente, el análisis didáctico nos permitió entonces precisar las preguntas que debemos hacer a la

historia. Tomemos ahora un segundo ejemplo donde el análisis didáctico permite proponer un criterio de selección

entre diferentes respuestas posibles. A. Szabo (1977) atribuye la aparición de la demostración en matemáticas

esencialmente a la inf luencia externa de la sociedad griega. Esta tesis es además relativamente tradicional: la

transformación de la matemática en ciencia hipotético -deductiva sería la "aplicación" de las reglas del debate

argumentado que gobernaban la vida política en la ciuda d griega. citemos aquí a J. P. Vernant (1979, p. 97):

" Seguramente no fue por azar que la razón surgió en Grecia como una consecuencia de esta forma tan original de

instituciones políticas que llamamos la ciudad. Con la ciudad, y por primera vez en la historia del hombre, el grupo

humano considera que sus asuntos comunes no pueden decidirse sin un debate público y contradictorio, abierto a

todos y donde los discursos argumentados se oponen unos a otros. Si el pensamiento racional apareció en las

ciudades gr iegas de Asia menor como Mileto, es porque las reglas de juego políticas en el marco de la ciudad -debate publico, argumentado, libremente contradictorio -se habían convertido en las reglas del juego intelectual".

A. Szabo precisa esta idea atribuyendo a la escuela eleata de Parménides y Zenón el origen de la transformación

radical de las matemáticas que precisó simultáneamente los objetos de esta ciencia definiéndolos axiomáticamente

como idealidades, objetos del pensamiento, y las reglas de su manipulaci ón, en particular la demostración que

permite distinguir los enunciados verdaderos. Se trata, diríamos, de una tesis esencialmente externalista sobre el

origen de la demostración en el sentido que busca este origen no en las necesidades internas del desarrollo de las

matemáticas, sino en las influencias externas.

Esta explicación es contradictoria con el "principio de economía ecológica" (Bourdieu, 1980, p.144), "que determina

que no se movilice más lógica que la que es necesaria para las necesidades de la práctica", principio a menudo

invocado en didáctica donde se admite que, si la génesis de un concepto en un alumno no puede ser totalmente

idéntica a su génesis histórica, por lo menos debe existir un punto común entre las dos situaciones: el concepto sól o

aparece históricamente, sólo es asimilable por el alumno, si aparece como indispensable para la solución de un

problema.

Podemos plantearnos esta pregunta a propósito de la demostración: ¿qué tipo de problema pudo hacer indispensable

su introducción en matemáticas? Los historiadores nos dicen que la aparición de la demostración es contemporánea

de la solución del problema de la irracionalidad, y precisamente, veremos en el numeral II que la demostración es

una herramienta indispensable para dar ese paso de la manera como lo hicieron los matemáticos griegos.

Ver el problema de la irracionalidad como origen exclusivo de la aparición de la demostración, sería, por oposición

a Szabo, un punto de vista exclusivamente "internalista". Veremos en el numeral IV qu e en efecto, una síntesis entre

el punto de vista internalista y el punto de vista externalista es más verosímil. Digamos ahora algo a propósito: si el

descubrimiento del problema de la irracionalidad provoca una contradicción en el seno de las matemáticas griegas,

más o menos claramente percibido, la opción internalista supondría que esta contradicción lleve en si el germen de

su superación por una solución única. Aquí tomaremos la posición de Balacheff y Lakatos estimando por el

contrario que la contradicción no lleva en si misma su superación y nos uniremos a Szabo, pensando que la opción

de la solución que fue dada depende de las corrientes de pensamiento de la sociedad griega. Volvemos así a un

punto de vista en parte externalista.

Señalemos, para term inar esta introducción, que empleamos en el curso de este trabajo otros enfoques análogos a los

de la didáctica: análisis a priori, para problematizar las preguntas, noción de cambio de marco.

I. Pruebas y demostración

Como lo señalamos en la introducción, estas palabras se utilizan normalmente como sinónimos, en particular en

matemáticas. Pero toda

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