Espacio Indiscreto
walter50004 de Julio de 2014
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111. EL ESPACIO INDISCRETO
Departamento de Matemática Educativa, CINVESTAV
Los PROBLEMAS suscitados por Las antinomias finito-infinito, discreto-continuo,
simple-complejo y muchas otras, siguen estando, hoy dia, en el centro
de muchas de las reflexiones sobre la naturaleza de 10s fundamentos de
las matemiticas. Asistimos en la actualidad a la explosi6n de la teoria deel
caos, a1 estudio de 10s atractores extrafios, de la ecuaci6n logistics, de 10s
diagramas de Feigenbaum, etc. En estos estudios, 10s problemas se ubican,
indistintamente, en el imbito de lo discreto y lo continuo. Intentaremos,
en lo que sigue, mostrar algunos momentos cruciales en el desarrollo
conceptual generado por la tensi6n entre lo discreto y lo continuo en el
proceso de constituci6n de la matemitica como ha llegado hasta nosotros.
DOS CONCEPCIONES SOBRE EL ESPACIO
~Eesl espacio continuo, discreto, finito, infinito? Heinos tenido que
recorrer un largo camino para lograr sacar estas preguntas del terreno de
la ontologia y llevarlas a1 terreno de nuestros rnodos de conocer, a1 terreno
de la cognici6n.
Una de las primeras observaciones de 10s fil6sofos griegos, de 10s presocriticos,
para mis sefias, fue la relativa a1 cambio. Las cosas cambian,
ic61110 explicar que algo pudiese convertirse en otra cosn?, fue la prcgunta
que ocup6 a 10s fil6sofos de Milero. Er:~njeldsof.s natrrnrles.
No todos pensaron asi. En lugar de buscar una explicaci6n a1 cambio,
simplemente lo negaron. No era posible que algo pudiese convertirse en
otra cosa, a pesar de 10s datos que arrojaban 10s sentidos. Parmenides
(515-440 a.C.) fue uno de 10s filcisofos que negaron In posibilidad tie1
cambio. Optaron asi por una explicaci6n basada en su razón, algo asi
corno: "si no lo creo, no lo veo". Es decir, creer para ver.
Ante la diversidad de concepciones sobre el mundo, mientras 10s fibsofos
se ocupan tratando de ponerse de acuerdo o ponerse en desacuerdo,
Herriclito (550-480 a.C.) seiial6 que la contradicci611 caracteriza a1 mundo;
tendria entonces qiie haber una especie de Raz6n Universal que conduzca
a1 mundo. A csa raz6n la llam6 Logos.
Esta contradiccibn entre el cambio y su imposibilidad -a partir de
una misma sustancia, como sostenian 10s fil6sofos de Mileto- fue abordada
por Delnbcrito (460-370 a.C.). Na se trntnbn de cnnzbios en Irl SZIStancin
sin0 e~z Informa. Las cosas estaban todas hechas de piezas indivis
i b l e ~e indestructibles: los ritomos. Permanencia y cambio, a1 mismo
tiempo. Para Dembcrito, existe una infinidad de itomos que se mueven
en el vacio -que tiene tanta existencia corno un cuerpo lleno. El movimiento
de 10s itomos requiere de un espacio sin limites, de un espacio
infinito (nprhvir).
De acuerdo con Arist6tcles (384-322 a.C.), Dem6crito sostenia que 10s
elementos eran infinitos en n6mero y, el espacio, continuo por el contact0
de sus partes homogeneas. Vemos aqui a una de 13s primeras concepciones
nnaliticns del continuo.
En el Libro 111, cap. 4, de la Fisicn, Arist6teles da cinco razones para
que se pueda pensar en el infinito. Es decir, para fundamentar la creencia
en la "realidad" del infinito (para ser "engafiados" por la idea del infinito).
Entre ellas, la raz6n principal, se halla relacionada con el problema de la
~~ep-fse~~t"~Sroibdrie~ t:o do, el nilmero y la rnagnitud matemiitica parecen
infi~iitosp ~q~Inls crc preselitacioncs no 10s agotan [. . .] el prohlcma quc
el fisico debe cxaminar es si existe una magniti~ds ensible inf nita".'
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