Lógica.

Lógica

Introducción

Cuando ingresas a la licenciatura en ciencias, frecuentemente se te solicitará demostrar tal o cual proposición, lema o teorema matemático y si no tienes la preparación adecuada te sentirás lleno de incertidumbres, preguntándote por dónde empezar. Esta situación se te magnificará cuando se te pidan demostrar proposiciones que contienen resultados con los cuales has trabajado anteriormente, que siempre has dado por ciertos y que además te han funcionado.

Cuando te parece obvio

Esto ocurrirrá por ejemplo cuando se te pida demostrar leyes de cancelación como la de la suma , las leyes de los signos o inclusive proposiciones como que . Muchas veces sentirás desánimo y quizás llegues a cuestionar la importancia de demostrar resultados que te parecen obvios. Tal situación, puede conducirte a no prestar la atención suficiente en tus clases o a tratar de memorizar procedimientos que lo que más requieren es la aplicación de razonamientos.

Conceptos y métodos

Para empezar sería muy importante que dedicaras tiempo a comprender los conceptos y a clarificar lo que significa demostrar y los diversos métodos de demostración con los que puedes contar. Además de lo anterior, cuenta mucho tu convencimiento y disposición sobre la necesidad de hacer demostraciones, para poder formalizar y desarrollar el estudio de las matemáticas.

Tu experiencia cuesta arriba

Con la experiencia que traes del bachillerato, aun si fuiste de los muy buenos, el rigor matemático de las demostraciones te significará un salto muy fuerte y no siempre comprensible a la primera. Tu experiencia en las matemáticas hasta este momento ha consistido en aplicar fórmulas o seguir recetas para ciertos desarrollos matemáticos elaborados. Tal vez, lo más complicado con lo que te has topado es el encontrar "el truco algebraíco" para una sustitución o para simplificar una expresión.

No sólo debes ser cuidadoso

Ahora igual que antes, al realizar cada paso en una demostración, debes ser cuidadoso en justificarlo con algún concepto, definición, axioma, hipótesis o resultado, previos, pero antes que eso, deberás elegir el método de demostración a utilizar y darte una idea de cómo empezar. Esto último sólo se te podrá ocurrir si tienes suficiente claridad de los que debes demostrar y qué te está permitido utilizar.

Resultados "no verdaderos"

Con la idea de influir en la necesidad de formalizar, se presentan algunos resultados "no verdaderos", que se se han "demostrado", junto con estudiantes en algunos cursos, partiendo de proposiciones que ellos mismos aportan como verdaderas. Estos son sólo una muestra de los tantos que se pueden hacer:

Da clic en la proposición que gustes, para ver su demostración.

Retroalimentación

Ahora que has experimentado con resultados no verdaderos, tal vez te quedes reflexionando ¿razoné bien?, ¿apliqué reglas verdaderas?, en fin ¿Qué ocurrió?. Si quieres salir de dudas puedes dar clic en los siguientes hipervínculos:

Concepto de proposición

Si buscas en el diccionario encontrarás lo siguiente acerca del término Proposición:

> Expresión de un juicio entre dos términos, sujeto y predicado, que afirma o niega

este de aquel, o incluye o excluye el primero del segundo.

> En otros simplemente lo declaran como sinónimo de oración, es decir, como una

expresión gramatical con sujeto, verbo y predicado.

Proposición gramatical

Para abreviar diremos que gramaticalmente una proposición, es una oración, que afirma o niega algo de alguien, donde ese alguien puede ser singular o plural, masculino, femenino o neutro.

Por ejemplo, "Los triángulos son las figuras geométricas más bonitas" es una oración que afirma algo sobre los triángulos y por lo mismo es una proposición gramatical. Sin embargo "El dulce de la miel" es tan solo una frase que no afirma, ni niega algo sobre el dulce de la miel, como pudiera ser "me empalaga". Distinto sería decir: "La miel es dulce", en este caso, sí sería una proposición gramatical.

Proposición lógica

Una proposición lógica, es una proposición gramatical, pero con la característica fundamental de que pueda ser clasificada como verdadera o como falsa, pero no ambas.

En el diccionario la acepción matemática de proposición es: "Enunciación de una verdad demostrada o que se trata de demostrar". Obviamente esto no sería posible si la expresión misma tuviese ambigüedades en sus valores de verdad.

Es decir, una proposición lógica debe tener perfectamente definido su valor de verdad. O falsa o verdadera. Por ejemplo en la proposición "Los triángulos son las figuras geométricas más bonitas", no se puede establecer rigurosamente un valor de verdad, por la subjetividad que encierra el concepto "bonito", así, sólo queda como proposición gramatical.

No ejemplos

Ensayemos una lista y luego analizamos caso por caso:

1) El trinar del cenzontle.

2) ¡Haz tu tarea antes de jugar!.

3) Todos los polígonos son bonitos.

4) El número imaginario i es mayor que 100.

Proposiciones que no son lógicas

En 1) tenemos una simple frase gramatical, a la cual le falta la acción declarativa. Así que no podríamos darle un valor de verdad o falsedad, es decir, no es proposición lógica.

En 2) tenemos una oración gramatical, pero ésta no es declarativa, más bien es imperativa, es una orden.

En 3) aunque tenemos una proposición gramatical, la afirmación tiene un carácter subjetivo y por lo mismo no podría clasificarse rigurosamente como verdadera

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