HISTORIA DEL ALGEBRA

HISTORIA DEL

ÁLGEBRA

Y

DE SUS TEXTOS

ANA CECILIA LORENTE MORATA

ÍNDICE

LOS EGIPCIOS .............................................................................2

CIVILIZACIÓN MESOPOTÁMICA ...........................................4

ÉPOCA HELENÍSTICA ...............................................................7

ANTIGUA CIVILIZACIÓN CHINA ............................................11

CIVILIZACIÓN HINDÚ ...............................................................13

CULTURA ÁRABE ......................................................................15

EUROPA MEDIEVAL ..................................................................18

RENACIMIENTO ..........................................................................20

SIGLO XVII ..................................................................................25

SIGLO DE LAS LUCES ...............................................................29

SIGLO XIX ...................................................................................32

SIGLO XX ....................................................................................37

ARS MAGNA “CAPÍTULO XII” .................................................39

BIBLIOGRAFÍA ..........................................................................47

En estos días el ángel de la topología

y el demonio del álgebra abstracta luchan

por el alma de cada dominio de las matemáticas.

HERMANN WEYL

El Álgebra es, en esencia, la doctrina de las operaciones matemáticas

analizadas desde un punto de vista abstracto y genérico, independiente de

los números u objetos concretos. A lo largo de la historia de la humanidad

esta ciencia ha ido evolucionando, y cada civilización y cada cultura con

sus características propias han dejando un legado testimonial escrito del

que en la actualidad somos herederos.

LOS EGIPCIOS

Hacia el cuarto milenio a.C. nació una gran civilización a orillas del

río Nilo: los Egipcios. Gracias a ellos y después de un largo proceso, los

primitivos textos pictográficos evolucionaron para dar lugar a una

ordenación lineal de símbolos más sencillos: sistema de notación

jeroglífica.

La cantidad de información matemática que podemos obtener de las

piedras talladas encontradas en las tumbas, los templos y de los calendarios

es muy limitada y el panorama de las contribuciones egipcias que

tendríamos sería extremadamente incompleto. Afortunadamente

disponemos de otras fuentes de información; hay un cierto número de

papiros egipcios que de una manera u otra , han conseguido llegar hasta

nuestros días. El más extenso de los que contienen información matemática

es un rollo de papiro de unos 30 cm de alto y casi 6 m de largo que está

expuesto en el British Museum de Londres.

Este papiro fue comprado en 1858 en una ciudad comercial del Nilo

por un anticuario escocés, Henry Rhind, de donde deriva el nombre de

Papiro Rhind con el que se conoce usualmente o, no tan a menudo como el

Papiro de Ahmes , en honor del escriba que lo copió hacia 1650 a.C. Este

escriba cuenta que el material escrito se deriva de un prototipo del Imperio

Medio de entre los años 2000 y 1800 a.C., y es posible que parte de estos

conocimientos provengan en realidad de Imhotep, el legendario arquitecto

y médico del faraón Zoser. En cualquier caso la matemática egipcia parece

haberse estancado durante unos 2000 años después de unos comienzos

prometedores.

Los problemas que hay en el Papiro de Rhind, no se refieren a

objetos concretos y específicos como pan o cerveza, ni tampoco piden el

resultado de operaciones con números conocidos, sino que piden lo

equivalente a resolver ecuaciones lineales de la forma x +ax = b ó

x +ax +bx = c, donde a, b y c son números conocidos y x es

desconocido; a este número desconocido o incógnita le llamaban “aha” o

“montón”.

La solución que se da en el Papiro de Rhind, de los problemas de

carácter algebraico planteados no es la que podría verse en los libros de

texto modernos, sino que es característica de un procedimiento que

conocemos hoy como el “método de la falsa posición” o “regula falsi”.

En este método se supone un valor concreto para el “montón”, lo más

probable es que sea incorrecto, y se efectúan con dicho número las

operaciones indicadas en el miembro de la izquierda de la igualdad, a

continuación se compara el resultado de estas operaciones con el resultado

que debería haberse obtenido, y mediante el uso de proporciones se halla

la respuesta correcta. Por ejemplo, el problema 24 del Papiro de Ahmes ,

traducido literalmente, dice: “una cantidad , su 1/7, su totalidad asciende a

19”. Esto para nosotros significaría :

x + x/7=19

se toma como valor de prueba para la incógnita el 7, de manera que

la ecuación toma el valor 8 en lugar del correcto que debía de ser 19, pero

en vista de que 8(2+1/4+1/8) =19, tenemos que multiplicar 7 por

2+1/4+1/8 para obtener el valor correcto del “montón”; Ahmes halla la

respuesta correcta, 16+1/2+1/8 y “comprueba” su resultado mostrando

que si a 16+1/2+1/8 se le suma un séptimo de él mismo, es decir

2+1/4+1/8, se obtiene efectivamente 19.

El único tipo de ecuación de segundo grado que aparece es el más

sencillo : axª = b

Muchos de los cálculos de “aha” en el Papiro de Rhind eran

evidentemente ejercicios para que practicasen los jóvenes estudiantes.

Este álgebra egipcia tan restringida no utilizaba prácticamente

ningún simbolismo. En el Papiro de Ahmes las operaciones de sumar y

restar aparecen representadas por un dibujo esquemático de las piernas de

una persona que se acerca y que se aleja .

En definitiva, los egipcios solucionaban problemas de una incógnita

que vienen a ser equivalentes a nuestra resolución de ecuaciones lineales.

Sin embargo, los procesos seguidos eran puramente aritméticos y no

constituían para los egipcios un tema distinto como podía ser la resolución

de ecuaciones.

CIVILIZACIÓN MESOPOTÁMICA

Al igual que en el valle del Nilo, nació a orillas de los río Tigris y

Eufrates a finales del cuarto milenio una nueva civilización : civilización

mesopotámica o también llamada babilónica.

Antiguamente, como hoy en día, “la Tierra de los Dos Ríos” fue un

territorio abierto a invasiones de diversa procedencia. Una de las más

importantes fue la llevada a cabo por los acadios semitas debido al vasto

territorio que ocuparon. Otras invasiones y revueltas posteriores elevaron al

poder en el valle a los amorritas, cassitas, elamitas, hititas, asirios, medos y

persas entre otros. Pero lo importante es que se conservó siempre una

uniformidad cultural, en particular el uso generalizado de la escritura

cuneiforme, lo suficientemente alta para que podamos referirnos a esta

civilización simplemente como mesopotámica.

En Mesopotamia, el álgebra alcanzó un nivel considerablemente más

alto que en Egipto ya que los babilónicos solucionaron tanto ecuaciones

lineales como ecuaciones cuadráticas sin ninguna dificultad y algunos

ejemplos de ecuaciones cúbicas.

Los documentos matemáticos que se conservan de la época son

tablillas de arcilla blanda donde se imprimía el texto con una varilla y a

continuación se cocían en hornos para endurecerlas. Estos documentos han

sido menos vulnerables al paso del tiempo que los papiros egipcios, por lo

que se dispone actualmente de una mayor información de la matemática

mesopotámica que de la egipcia. La mayoría de las tablillas con contenido

matemático se encuentran en las Universidades de Columbia, Pennsylvania

y Yale, las cuales fueron suministradas por un yacimiento arqueológico de

la antigua ciudad de Nipur.

Los problemas algebraicos aparecen formulados y resueltos de una

manera completamente verbal, sin utilizar símbolos especiales. A menudo

aparecen las palabras us (longitud), sag (anchura) y a!a (área) utilizadas

para representar las incógnitas, no porque dichas incógnitas representen

tales cantidades geométricas, sino porque muchos problemas algebraicos

seguramente surgieron de situaciones geométricas y esta terminología

terminó por imponerse. Un indicio de que esto era así, es que los

babilónicos no tenían ningún reparo en sumar una longitud con un área o

un volumen.

Algunos ejemplos de estos problemas son:

- el problema en el que se pide hallar el lado de un cuadrado si su

área menos el lado es igual a 14;30 ; la solución de este problema es

equivalente a la resolución de la ecuación cuadrática x" - x = 870 y

viene explicada por el escriba de la siguiente forma :

“Toma la mitad de 1 que es 0;30 y multiplica por 0;30 que es

0;15, suma este número a 14;30 lo que da 14,30;15. Este es el cuadrado de

29;30 , ahora suma 0;30 a 29;30 cuyo

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