La historia del álgebra

el algebra es muy importante..

Álgebra

Al Juarismi (siglo IX d.C.).

Considerado el «padre del álgebra».

Álgebra (del árabe: «al-jebr») es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. Puede definirse como la generalización y extensión de la aritmética.1 2

A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las operaciones fundamentales, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen, además, letras, para representar variables o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio general. 3

Índice [ocultar]

1 Etimología

2 Álgebra elemental

3 Historia

4 Notación algebraica

5 Signos del Álgebra

5.1 Signos de operación

5.2 Signos de relación

5.3 Signos de agrupación

5.4 Signos y símbolos más comunes

6 Lenguaje Algebraico

7 Estructura algebraica

8 Véase también

9 Referencias

10 Bibliografía

11 Enlaces externos

Etimología

La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático y astrónomo persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (en árabe «كتاب الجبر والمقابلة», Compendio de cálculo por compleción y comparación), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.

Álgebra elemental

Artículo principal: Álgebra elemental.

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:

Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.

Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.

Permite la formulación de relaciones Funcionales.

Historia

Página del libro Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala, de Al-Juarismi.

Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica,4 que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sistema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día suelen resolverse mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indeterminadas. En contraste, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de los matemáticos griegos y chinos del primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en el Papiro de Rhind, Los Elementos de Euclides y Los nueve capítulos sobre el arte matemático.

Para la época de Platón, en la Antigua Grecia, las matemáticas habían sufrido una importante transformación. Los matemáticos helénicos crearon un álgebra de tipo geometrico, en donde los términos eran representados por lados de objetos geométricos, por lo general líneas, a las cuales asociaban letras.5 Diofanto (siglo III d.C.), algunas veces llamado «el pádre del álgebra», fue un matemático alejandrino, autor de una serie de libros intitulados Arithmetica. Estos textos tratan de las soluciones a las ecuaciones algebraicas.6

Las mentes griegas matemáticas de Alejandría y Diofanto siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, pero el libro Arithmetica de Diophantus está en un nivel mucho más alto. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollaron métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación. Aunque los babilonios y Diophantus utilizaron sobre todo los métodos especiales ad hoc para resolver ecuaciones, Al-Khwarizmi fue el primero en resolver ecuaciones usando métodos generales. Él resolvió el indeterminado de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones indeterminadas de segundo orden y ecuaciones con múltiples variables.

La palabra "álgebra" es el nombre de la palabra árabe "Al-Jabr, الجبر" en el título del libro al-Kitab al-muḫtaṣar fi al-Gabr ḥisāb wa-l-muqābala, الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, escrito por el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī, en 820. La palabra Al-Jabr significa "reducción". Para ciertos autores Al-Khwārizmī es el "padre del álgebra", aunque otros reservan este título al matemático helenístico Diophantus. Los que apoyan a Diophantus apuntan al hecho de que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es algo más elemental que el que se encuentra en el álgebra Arithmetica y que Arithmetica es sincopada mientras que Al-Jabr es totalmente retórica. Los que apoyan el punto de Al-Khwarizmi se basan en el hecho de que presenta los métodos de "reducción" y "equilibrio" (la transposición de términos restará al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos a ambos lados de la ecuación), al cual el término Al-Jabr se refería originalmente, y que dio una explicación exhaustiva de la solución de ecuaciones cuadráticas, apoyada por las pruebas geométricas, mientras que el tratamiento de álgebra como una disciplina independiente en su propio derecho. Su álgebra ya tampoco trataría "con una serie de los problemas por resolver", sino con una "exposición que empieza con lo primitivo en el que las combinaciones deben dar todos los posibles prototipos de ecuaciones, que en adelante explícitamente constituyen el verdadero objeto de estudio". También estudió una ecuación para su propio bien y "de forma genérica, en la medida que no sólo surgen en el curso de la solución de un problema, sino que específicamente en la llamada para definir una infinidad de problemas de clase".[cita requerida]

El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas; también desarrolló el concepto de función. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de ecuaciones de grado tres, cuatro y cinco, así como ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos.

Otro acontecimiento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas y cuárticas, desarrollado a mediados del siglo XVI. La idea de un factor determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. El álgebra abstracta se desarrolló en el siglo XIX, inicialmente centrada en lo que hoy se conoce como teoría de Galois y en temas de la constructibilidad.7

Notación algebraica

8 Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, … Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Signos del Álgebra

8 Los signos empleados en álgebra son tres clases: Signos de operación, signos de relación y signos de agrupación.

Signos de operación

En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmética: suma, resta, multiplicación, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican con los principales signos de aritmética excepto el signo de multiplicación. En lugar del signo × suele emplearse un punto entre los factores y también se indica a la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así a⋅b y (a)(b) equivale a a × b.

Signos de relación

Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: =, que se lee igual a. Así, a=b se lee “a igual a b”. >, que se lee mayor que. Así, x + y > m se lee “x + y mayor que m”. <, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee “a menor que b + c”.

Signos de agrupación

Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { } y la barra o vínculo ||. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a + b)c índica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarse por c; [a – b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m, {a + b} ÷ {c – d} índica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d. El orden de estos signos son de la siguiente forma { [ ( ) ] }, por ejemplo: { [ (a + b) - c] ⋅ d} indica que el resultado de la suma de a + b debe restarse a c y el resultado de esto multiplicarse por d.

Signos y símbolos más comunes

Los signos y símbolos son utilizados en el álgebra — y en general en la teoría de conjuntos — con los que se constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va variando.

Aquí algunos ejemplos:

Signos y Símbolos

Expresión

Uso

+ Además de expresar adición, también es usada para expresar operaciones binarias

c ó k Expresan Términos constantes

Primeras letras del abecedario

a, b, c,... Se utilizan para expresar cantidades conocidas

Últimas letras del abecedario

...,x, y, z Se utilizan para expresar incógnitas

n Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n)

Exponentes y subíndices

Expresar cantidades de la misma especie, de diferente magnitud.

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Simbología de Conjuntos

Símbolo

Descripción

{} conjunto

∈ Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.

∉ No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.

⎜ Tal que.

n (C) Cardinalidad del conjunto C.

U Conjunto Universo.

Φ Conjunto Vacío.

⊆ Subconjunto de.

⊂ Subconjunto propio de.

⊄ No es subconjunto propio de.

> Mayor que.

< Menor que.

≥ Mayor o igual que.

≤ Menor o igual que.

∩ Intersección de conjuntos.

∪ Unión de Conjuntos.

A' Complemento del conjunto A.

= Simbolo de igualdad.

≠ No es igual a.

... El conjunto continúa.

⇔ Si y sólo si.

∼ No (es falso que).

∧ Y

∨ O

Lenguaje Algebraico

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Lenguaje Algebraico

Lenguaje Común

Lenguaje Algebraico

Un número cualquiera. m

Un número cualquiera aumentado en siete. m + 7

La diferencia de dos números cualesquiera. f - q

El doble de un número excedido en cinco. 2x + 5

La división de un número entero entre su antecesor x/(x-1)

La mitad de un número. d/2

El cuadrado de un número y^2

La semisuma de dos números (b+c)/2

Las dos terceras partes de un número disminuidos en cinco es igual a 12. 2/3 (x-5) = 12

Tres números naturales consecutivos. x, x + 1, x + 2.

La parte mayor de 1200, si la menor es w 1200 - w

El cuadrado de un número aumentado en siete. b2 + 7

Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a tres. 3/5 p + 1/2 (p+1) = 3

El producto de un número positivo con su antecesor equivalen a 30. x(x-1) = 30

El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho número. x3 + 3x2

Estructura algebraica

Artículo principal: Estructura algebraica.

En matemáticas, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica. Las estructuras algebraicas más importantes son:

Estructura Ley interna Asociatividad Neutro Inverso Conmutatividad

Magma

Semigrupo

Monoide

Monoide abeliano

Grupo

Grupo abeliano

Estructura (A,+,·) (A,+) (A,·)

Semianillo Monoide abeliano Monoide

Anillo Grupo abeliano Semigrupo

Cuerpo Grupo abeliano Grupo abeliano

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