Historia De Los Conjuntos

LOS CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas que estudia los conjuntos, que son colecciones de objetos. Aunque cualquier tipo de objeto que se puede recoger en un conjunto, la teoría de conjuntos se aplica con mayor frecuencia a los objetos que son relevantes para las matemáticas. El lenguaje de la teoría de conjuntos puede ser utilizado en las definiciones de casi todos los objetos matemáticos.

El estudio moderno de la teoría de conjuntos fue iniciadA por Georg Cantor y Richard Dedekind en 1870. Después del descubrimiento de las paradojas en la teoría de conjuntos ingenua, numerosos sistemas axiomáticos se propusieron a principios del siglo XX, de los cuales los axiomas de Zermelo-Fraenkel, con el axioma de elección, son los más conocidos.

La teoría de conjuntos se emplea comúnmente como un sistema fundamental para las matemáticas, sobre todo en la forma de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. Más allá de su papel fundamental, la teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas en sí misma, con una comunidad de investigación activa. Las últimas investigaciones de la teoría de conjuntos incluye una variada colección de temas, que van desde la estructura de la recta numérica real para el estudio de la consistencia de los grandes cardenales.

HISTORIA

Temas matemáticos normalmente surgen y evolucionan a través de interacciones entre muchos investigadores. La teoría de conjuntos, sin embargo, fue fundada por un solo papel en 1874 por Georg Cantor: "En una propiedad característica de todos los números algebraicos reales".

Desde el siglo quinto antes de Cristo, comenzando por el matemático griego Zenón de Elea en los matemáticos indios del oeste y principios en el Este, los matemáticos habían luchado con el concepto de infinito. Especialmente notable es el trabajo de Bernard Bolzano, en la primera mitad del siglo 19. La comprensión moderna de la infinidad comenzó en 1867-1871, con el trabajo de Cantor en la teoría de números. Una reunión de 1872 entre Cantor y Richard Dedekind influenciado el pensamiento de Cantor y culminó en el artículo de Cantor 1874.

Trabajo de Cantor inicialmente polarizó los matemáticos de su época. Mientras Karl Weierstrass y Dedekind apoyado Cantor, Leopold Kronecker, que ahora se ve como uno de los fundadores del constructivismo matemático, no lo hicieron. Cantoriana la teoría de conjuntos con el tiempo se generalizó, debido a la utilidad de los conceptos cantoriana, como la correspondencia uno a uno entre los juegos, la prueba de que hay un número más real que los enteros, y el "infinito de infinitos" que resultan de la operación de establecimiento de alimentación. Esta utilidad de la teoría de conjuntos llevó al artículo "Mengenlehre" contribuido en 1898 por Arthur Schoenflies a la enciclopedia de Klein.

La próxima ola de entusiasmo en la teoría de conjuntos fue en 1900, cuando se descubrió que la teoría de conjuntos cantoriana dio lugar a varias contradicciones, llamado antinomias o paradojas. Bertrand Russell y Ernst Zermelo encontraron de forma independiente la paradoja conocida mejor y más simple, que ahora se llama la paradoja de Russell: considerar "el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos", lo que conduce a una contradicción ya que debe ser un miembro de la misma, y no un miembro de sí misma. En 1899 Cantor tuvo el mismo se plantea la siguiente pregunta: "¿Cuál es el número cardinal del conjunto de todos los conjuntos?", Y obtuvo una paradoja relacionada. Russell utilizó su paradoja como tema en su 1903 revisión de las matemáticas continentales en sus Principios de las Matemáticas.

El impulso de la teoría de conjuntos fue tal que el debate sobre las paradojas no condujo a su abandono. El trabajo de Zermelo en 1908 y Abraham Fraenkel en 1922 dio lugar a un conjunto de axiomas ZFC, que se convirtió en el más utilizado conjunto de axiomas de la teoría de conjuntos. El trabajo de los analistas como Henri Lebesgue demostrado la gran utilidad matemática de la teoría de conjuntos, que se ha convertido ya en la trama de la matemática moderna. La teoría de conjuntos es comúnmente usado como un sistema fundamental, aunque en algunas áreas de la teoría de categorías se piensa que es una base preferida.

George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos.

El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más paradojas, incluyendo al mismo Cantor. Russell

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