DEFINICIONES ESTADISTICAS BASIVAS EN EL ANALISIS DE TIEMPO DE VIDA

6. DEFINICIONES ESTADISTICAS BASIVAS EN EL ANALISIS DE TIEMPO DE VIDA

En este capítulo, daremos una breve introducción elemental a las ecuaciones y a las definiciones estadísticas más comunes y más fundamentales usadas en la ingeniería de la confiabilidad y el análisis de datos de tiempo de vida. Las ecuaciones y los conceptos presentes en este capítulo serán utilizados extensivamente en los capítulos que siguen.

6.1 Variable aleatoria

En general, la mayoría de los problemas en la ingeniería de la confiabilidad se ocupan de medidas cuantitativas, tales como la tiempo a la falla de un componente, o si el componente falla o no. En la sentencia de un componente para ser defectuoso o no-defectuoso, solamente dos resultados son posibles. Podemos entonces denotar una variable aleatoria X como representante de estos resultados posibles, es decir defectuosos. En este caso, x  es una variable aleatoria que puede adquirir solamente estos valores.

En el caso del tiempo a la falta, nuestra variable aleatoria x puede adquirir el tiempo a la falla (o el tiempo a un acontecimiento del interés) del producto o componente y puede estar en una gama a partir de 0 al infinito (puesto que no sabemos el tiempo exacto a priori)

En el primer caso, donde la variable aleatoria puede adquirir solamente dos valores discretos (vamos a decir defectuoso x=0 y no defectuoso x=1), la variable se dice ser una variable aleatoria discreta. En el segundo caso, nuestro producto se puede encontrar fallando en cualquier momento después del tiempo 0. Es decir en (12, 4 horas o en 100, 12 horas) y así sucesivamente. En este caso, nuestra variable aleatoria x se dice ser una variable aleatoria continua. Surge un tercer caso, cuando el producto puede fallar en cualquier momento después del tiempo cero  pero por alguna razón solo se puede observar el requerimiento hasta el tiempo         generando, esta situación una variable aleatoria que se denomina como variable aleatoria mixta. En el presente trabajo haremos referencia a variables aleatorias continuas y variables aleatorias mixtas.[pic 1]

Definición 1: dado un experimento aleatorio y x una variable  asociada a este, cuyo rango es         se denomina  a x “variable aleatoria discreta” (v. a. d.), cuando el conjunto    resulta ser el a lo más numerable.[pic 2][pic 3]

Definición 2:  una variable aleatoria x asociada a un experimento aleatoria cuyo cuyo rango es          se denomina “variable aleatoria continua” (v. a. c.), cuando el conjunto    resulta ser un intervalo del conjunto d los números reales R y P(X=x) =0 para cualquier x €R.[pic 4][pic 5]

Decisión 3: una variable aleatoria x asociada a un experimento aleatorio cuyo rango es      se denomina: “variable aleatoria mixta” (v. a.m.), cuando el conjunto              resulta ser un intervalo del conjunto de los números resales R y P(X=x)=0 para cualquier x €   excepto para un conjunto a lo mas numerable de .[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

Dada una variable aleatoria continua x, se usara la siguiente notación:

La función de densidad de probabilidad, abreviado por fdp, como f(x)

La función de distribución acumulada, abreviada por fda, como F (x)

6.2 Función de densidad de probabilidad

Definición 4: a la función integrada f(x) en todos los reales; que cumple con las condiciones siguientes:

1. f (x) ≥0, para toda x € R.
2. [pic 10]
3. Para cualesquiera reales a y b tales que a ≤ b; tenemos P (a≤ X ≤b) = [pic 11]

Se les denominara “función de Densidad de Probabilidad” (fdp), de la cariable aleatoria continua X.

6.3 Función  de distribución acumulada

Definición 5: dado una variable aleatoria continua x con función de densidad f(x), se denomina función de distribución acumulada (fda) de la variable aleatoria continua x, a la función F(x) definida por:

F(x) =p(x ≤ x) = para toda x € R.[pic 12]

A partir de la definición de f(x) fácilmente se deduce:

1. F(x). es una funcion no decreciente; es decir. Para todos aquellos reales x e y, si x < y, entonces F(x) ≤ F8y).
2. F(x) es continua por la derecha en x € R

1. [pic 13]
2. [pic 14]

La relación matemática entre la fdp y la fda se da de la siguente manera

Si  es una función de probabilidad de la variable aleatoria continua X, entonces su función de distribución acumulada ) es; continua en todos los reales y diferenciable en todos los reales, menos en los puntos de discontinuidad de  de lo expuesto anteriormente se deduce que cuando se conozca una función de distribución acumulada en una variable aleatoria continua X, podremos encontrar su función de densidad correspondiente, por medio de [pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

En los puntos en donde la función de distribución acumulada es diferenciable inversamente conociendo la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua ), podemos encontrar su función de distribución de la siguiente forma[pic 19]

[pic 20]

6.4 Función de distribución inversa

La función de distribución inversa es lo contrario de la función de distribución acumulativa. Es decir, para una función de distribución calculamos la probabilidad que la variable aleatoria X sea menor  igual a un valor x dado. Para la función de distribución inversa, comenzamos con la probabilidad y encontramos el correspondiente valor de x para la distribución acumulada .Matemáticamente, esto se pude expresar como

[pic 21]

O alternativamente como

[pic 22]

6.5 La función de supervivencia

La función de la supervivencia (también a veces llamada función de confiabilidad) se utiliza frecuentemente en confiabilidad y capos relacionados. La función de supervivencia es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor mayor que x, se denota por  hasta dada por:[pic 23]

[pic 24]

S(x) tiene siguiente significado:  probabilidad de que un producto opere sin falta por una longitud de tiempo x.[pic 25]

Es claro que por las propiedades de la función de distribución acumulada la función de supervivencia tiene las siguientes propiedades: [pic 26]

Ahora, observe que la función de densidad de probabilidad en términos de la función de supervivencia está dada como.

[pic 27]

6.6 Función de supervivencia inversa

Como habíamos visto anteriormente la función de distribución inversa es lo contrario de la función de distribución acumulada. La función de supervivencia también tiene una función inversa .La función de supervivencia inversa denotada por Z se puede definir en los términos de distribución inversa como.

[pic 28]

6.7 Función de riesgo

La función de riesgo 8tambien conocida como función de tasa de falla) se denota por h(x), y proporciona la tasa de falla condicional .Esta se define como la probabilidad de falla durante un intervalo de tiempo muy pequeño, asumiendo que el producto ha sobrevivido al inicio del intervalo, o como límite de la probabilidad de que el producto falle en un intervalo  dado que el producto ha sobrevivido hasta el tiempo x.[pic 29]

Desarrollaremos la función de riesgo (como una función de x). Sea  la función de riesgo. Entonces [pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Puesto que S(x) =1-F(x) y- S(x)=f(x).  Así la función de riesgo puede escribirse en términos de la función de distribución acumulada F(x) y la  función de densidad de probabilidades f(x) como:

        [pic 34] 

Es importante hacer notar que la distribución de tiempos de vida puede ser caracterizada por tres funciones:

1. La función de densidad  probabilidad
2. La función de supervivencia, o
3. La función de riesgo.

Estas funciones son matemáticamente equivalentes, esto es, si se conoce alguna de ellas entonces las otras dos funciones se pueden derivar de esta.

6.8  función de riesgo acumulada

la función de riesgo acumulada es la integral  de la función de riesgo. Puede ser interpretada como la probabilidad de la falla en el tiempo x dado que existe supervivencia hasta el tiempo x.

[pic 35]

Esto puede expresarse alternativamente como

[pic 36]

6.9 clasificación de los datos

Existen varios tipos de datos censurados según sea el mecanismo que produce la censura y el tipo de conjunto que contiene el valor del dato. Una clasificación similar a la que se presenta aquí se puede encontrar e la sección 1.4 del capítulo 1 de lawless(2003)

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