Derivadas

3. DERIVADA

3.1 Recta Tangente

La recta tangente esta relacionada con el concepto de límite estudiado previamente, antes de iniciar propiamente el estudio de la recta tangente pasaremos a recordar algunos conceptos importantes sobre las rectas.

Cuando estudiamos la unidad 1, analizamos la gráfica de una función lineal o de una recta, y se hizo de la forma general con pendiente e intersección con el eje, es decir:

Agregaremos algunos conceptos respecto a las rectas:

☞ Dados dos puntos la pendiente de una recta se obtiene

☞ Dados un punto y la pendiente ; la ecuación de una recta se obtiene

☞ Decimos que dos rectas son paralelas, si y solo si sus pendientes son iguales:

☞ Dos rectas son perpendiculares, si y solo si el producto de sus pendientes es menos uno:

Lo anterior es muy importante para ahora poder pasar a la pendiente de una recta, en particular a la pendiente de la recta tangente.

3.1.1 Pendiente de una recta.

Como se mencionaba al inicio del punto 3.1, el concepto de la recta tangente está ligado con lo estudiado anteriormente, que ha sido el límite de funciones.

Veamos la siguiente gráfica:

Observamos que tenemos la gráfica de una parábola y la gráfica de una línea recta. A esta recta se le conoce como la secante a la curva dada, porque corta a la curva en dos puntos, lo que se quiere ilustrar con la gráfica anterior es lo siguiente:

Ilustrando un poco lo anterior se tiene lo siguiente:

Utilizando el concepto de distancia entre dos puntos, podemos obtener la pendiente de la recta de acuerdo al concepto antes mencionado, cuando tenemos dos puntos:

Por otro lado se tiene un triángulo rectángulo, entonces si repasamos el concepto de la tangente de un ángulo, tendríamos lo siguiente:

Lo que podemos observar es que la pendiente de una recta conociendo dos puntos y la tangente que se hace con el triángulo rectángulo que se forma es igual, entonces lo que podemos deducir, es la tangente de la recta en un punto, esto es:

3.1.2 Ecuación de la recta tangente.

Ejemplo 1.-

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola y = 2x2 – 3 en el punto ( 1 , – 1) apoye su resultado con la gráfica.

Solución.-

Lo primero que hacemos es determinar la pendiente de la recta utilizando la definición:

luego se sustituye la función f(1 + h) y f(1) resultando lo siguiente:

En la siguiente gráfica vemos tanto la curva como la recta tangente a ella en un punto determinado.

Ejemplo 2.-

Dada la función determina la pendiente de la tangente en el punto ( 2 , 1 ) utilizando la definición proporcionada.

Solución.-

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