Identifica cuales de las matrices dadas son iguales.

1. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MATRICES

1. Operaciones con matrices

Representación de las matrices:

1. Una matriz puede denotarse por una letra mayúscula como A, B, C, …
2. Una matriz puede denotarse por un elemento representativo escrito entre corchetes , …[pic 1]
3. Una matriz puede denotarse como por un arreglo rectangular de números

                                        [pic 2]

Veamos las siguientes definiciones y ejemplos correspondientes:

Igualdad de matrices. Dos matrices     son iguales si tienen el mismo tamaño  y  para [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

Ejemplo 1. Igualdad de matrices. Considere las siguientes matrices

 [pic 9]

[pic 10]

Identifica cuales de las matrices dadas son iguales.

Identifica cuales de las matrices dadas son diferentes y ¿por qué?

Suma de matrices. Si    son matrices de tamaño , entonces su suma es la matriz de tamaño  dada por  La suma de dos matrices de diferente tamaño no está definida.[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Multiplicación por un escalar. Si   es una matriz de tamaño  y  es un escalar, entonces el múltiplo escalar de  por  es la matriz de tamaño  dada por  .[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

Ejemplo 2. Suma de matrices. Considere las matrices.

[pic 25]

Calcula las siguientes operaciones:   si es posible, en los casos que no sean posibles exprese ¿por qué?[pic 26]

Ejemplo 3. Resuelva para X cuando

[pic 27]

[pic 28]

Ejemplo 4. Resuelva para  y  en la matriz de la ecuación dada.[pic 29][pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

Multiplicación de matrices. Si   es una matriz de tamaño  y    es una matriz  entonces el producto es una matriz de ,  donde [pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

[pic 42]

Asegúrese de entender que el producto de dos matrices está definido, cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la  segunda matriz; es decir,

[pic 43]

Ejemplo 5. Consideremos el siguiente problema.  

En un día determinado, la estación de servicio de combustibles de Al vendió 1600 galones de gasolina regular, 1000 de gasolina premium y 800 galones de gas oíl. Si el precio de los combustibles ese día fueron $ 2.00, $ 3.00 y $ 4.00 correspondientes a la gasolina regular, gasolina premium y el gas oíl, calcule los ingresos totales de Al para ese día.

Ejemplo 6. Sean las matrices

[pic 44]

Calcule si es posibles  y  en caso de no ser posible explique ¿por qué?[pic 45][pic 46]

Ejemplo 7. Sean las matrices

[pic 47]

Calcule si es posibles  y en caso de no ser posible explique ¿por qué?[pic 48][pic 49][pic 50]

1. Propiedades de las operaciones con matrices

Veamos los siguientes teoremas relacionados con el álgebra de matrices

Propiedades de la suma de matrices y de la multiplicación por un escalar. Si  son matrices de  y  y  son escalares, entonces las siguientes propiedades son verdaderas.[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

1.                                 Propiedad conmutativa de la suma [pic 55]
2.        Propiedad asociativa  de la suma[pic 56]
3.                                 Propiedad asociativa  de la multiplicación [pic 57]
4.                                               Identidad multiplicativa[pic 58]
5.                       Propiedad distributiva  de la multiplicación sobre la suma[pic 59]
6.                       Propiedad distributiva[pic 60]

Propiedades de las matrices cero. Si  es matriz de  y  es un  escalar, entonces las siguientes propiedades son verdaderas.[pic 61][pic 62][pic 63]

1. [pic 64]
2. [pic 65]
3. Si , entonces [pic 66][pic 67]

Propiedades de la multiplicación de matrices. Si  son matrices (con tamaños tales que los productos matriciales dados están definidos) y  es un escalar, entonces las siguientes propiedades son verdaderas.[pic 68][pic 69]

1.                     Propiedad asociativa  de la multiplicación[pic 70]
2.           Propiedad distributiva  de la multiplicación sobre la suma[pic 71]
3.            Propiedad distributiva  [pic 72]
4. [pic 73]

Ejemplo 8. Dadas las matrices del ejemplo 7 determine el producto matricial , primero y después como.[pic 74][pic 75][pic 76]

Propiedades de la matriz identidad. Si  es matriz de tamaño    entonces estas propiedades son verdaderas.[pic 77][pic 78]

1. [pic 79]
2. [pic 80]

Ejemplo 9. Multiplique las matrices dadas

 [pic 81]

 [pic 82]

Para la multiplicación de repetida de matrices cuadradas:

• [pic 83]
• [pic 84]
• [pic 85]
• [pic 86]
• Esta propiedades nos permiten establecer las propiedades

1. [pic 87]
2. .[pic 88]

Ejemplo 10. Multiplicación repetida de una matriz cuadrada.

Encuentre  para la matriz [pic 89][pic 90]

Transpuesta de una matriz. La transpuesta de una matriz se forma al escribir sus columnas como renglones. Por ejemplo, si es la matriz de   [pic 91][pic 92][pic 93]

 entonces la transpuesta, denotada por , es la [pic 94][pic 95]

matriz de  siguiente  [pic 96][pic 97]

Ejemplo 11. Transpuesta de una matriz. Encuentre la transpuesta de cada matriz

[pic 98]

Propiedades de la transpuesta. Si  son matrices (de tamaño tal que las operaciones con matrices dadas están definidas) y c es un escalar, entonces las siguientes propiedades son verdaderas.[pic 99]

1.                          Transpuesta de la transpuesta[pic 100]
2.       Transpuesta de una suma[pic 101]
3.                  Transpuesta de la multiplicación por un escalar[pic 102]
4.                  Transpuesta de un producto[pic 103]

Ejemplo 12. Producto de una matriz y su transpuesta.  

Para la matriz  encuentre el producto  y demuestre que es simétrica.[pic 104][pic 105]

1. Inversa de una matriz

Definición de inversa. Una matriz  de  es invertible (o no singular) si existe  de  tal que  donde  es la matriz identidad de orden . La matriz  se denomina inversa (multiplicativa) de . La matriz  que no tiene una inversa se denomina no invertible (o singular).[pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115]

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