Investigaciones De Operaciones I

FORMULACION DE PROBLEMAS

Problema 01:

Una compañía elabora dos productos P1 y P2 cada uno requiere de componentes C1 y C2 la disponibilidad de componentes y precio de venta se muestra en el siguiente cuadro:

Producto Componentes Precio de Venta

(S/./Unidad)

C1 C2

P1 1 2 4

P2 3 1 3

Dispone 15000 10000

Se pide formular el problema y optimizar el ingreso de ventas

Solución 01:

Xi = unidades del producto a producir (i = 1, 2)

Función Objetivo: max Z = 4X1 + 3X2

Restricciones:

X1 + 3X2 <= 15,000

2X1 + X2 <= 10,000

X1, X2 >= 0

Para el problema la función objetivo Z = 4X1 + 3X2 indica que X1 son la unidades del producto 1 cuyo precio de venta es 4 soles, X2 son la unidades del producto 2 cuyo precio de venta es 3 soles. Esta función llamada objetivo será óptima si consideramos las restricciones mencionadas, es decir las unidades del producto X1 más las unidades del producto X2 multiplicado por 3 debe ser menor que 15,000 unidades.

Este problema busca encontrar una ecuación matemática que optimice el ingreso de ventas, es decir que sea mas rentable eligiendo un número determinado de componentes para la elaboración de cada producto.

Así mismo no sólo consiste en encontrar la formula matemática sino que esta en función una serie de restricciones para que se logre la optimización.

Problema 02:

Las capacidades de producción del producto P de las fábricas A y B, los costos por unidad transportada a los centros de consumo C1 y C2 y las demandas de estos son como sigue:

Fabrica Costos de Transporte (S/. / Unidad) Producción

(Unidad)

C1 C2

A 5 10 300

B 12 3 400

Demanda (Unidad) 250 350

Se pide formular el problema y minimizar el costo total de transporte

Solución 02:

Xij =unidades transportadas de la fábrica i (i = 1,2) al centro de consumo j (j = 1,2)

Función Objetivo: mín Z = 5X11 + 10X12 + 12X21 + 3X22

Restricciones:

Fábrica A: X11 + X12 <= 300

Fábrica B: X21 + X22 <= 400

Centro de Consumo C1: X11 + X21 >= 250

Centro de Consumo C2: X12 + X22 >= 350

Este problema nos pareció muy interesante incluirlo por que se trata de minimizar los costos de transporte mediante un modelo matemático considerando restricciones que se dan en la producción (capacidad de fábrica) y en la demanda.

En la función objetivo se toma los costos unitarios por las unidades transportadas de cada fábrica hacia cada centro de consumo.

Problema 03:

La capacidad de producción de TEXTIL-PERU es de 900 unidades mensuales. Los costos unitarios de producción y el compromiso mensual de venta a EXPORT-PERU son como sigue:

Mes Costo de Producción

(S/. / unidades) Venta (Unidades)

1 100 300

2 150 350

3 200 400

Se pide formular el problema:

Solución 03:

Xi = Producción en el mes i (i=1,2,3)

Función Objetivo: min Z = 100X1 + 150X2 +200X3

Restricciones:

Mes 1: X1 <= 900

X1 >= 300

Mes 2: X2 <= 900

X1 + X2 >= 650

Mes 3: X3 <= 900

X1 + X2 + X3 >= 1050

El objetivo de este problema es minimizar los costos en función de una serie de restricciones (capacidad de producción y compromiso de venta).

La función objetivo esta en función al producto de lo costos unitarios y unidades a producir. En las restricciones se considera los compromisos de venta para cada mes.

Problema 04:

FLORANID S.A., es una empresa dedicada a la comercialización de abonos para plantas que emplea 3 tipos diferentes de ingredientes A, B y C, para conseguir 3 tipos de abonos 1, 2, y 3.

En cuanto a los ingredientes, su disponibilidad es limitada y sus costos son los siguientes:

INGREDIENTE CANTIDAD DISPONIBLE (kg) COSTOS

(pts/kg)

A 4.000 1.300

B 6.000 1.500

C 2.000 1.000

Los costos de los abonos son:

Abono 1  2.000 pts/kg

Abono 2  3.000 pts/kg

Abono 3  1500 pts/kg.

Además de lo anterior, los ingredientes han de mezclarse en proporciones específicas para asegurar una combinación adecuada:

Para el abono 1, no menos del 25 % de A y no más del 40 % de C; para el abono 2, no menos del 30 % de A, no menos del 20 % ni más del 30 % de B y no más del 15 % de C; y para el abono 3, no menos del 35 % de B.

Con todos los datos que FLORANID S.A. nos ha facilitado, nos piden que determinemos: ¿Cuánta cantidad de cada tipo de abono hay que producir de forma que se maximice el beneficio de la compañía?

Así pues, con los datos facilitados, podemos construir un primer esquema que nos permitirá desarrollar el modelo de programación lineal para la resolución del problema:

INGREDIENTES ABONOS CANTIDAD DISPONIBLE (kg) COSTOS (pts/kg)

1 2 3

A X11 X12 X13 4000 1300

B X21 X22 X23 6000 1500

C X31 X32 X33 2000 1000

VARIABLES DE DECISIÓN

Xij : cantidad de ingrediente del tipo i para cada tipo de abono j.

RESTRICCIONES

X11 + X12 + X13  4000

X21 + X22 + X23  6000 Restricciones de disponibilidad

X31 + X32 + X33  2000

0,75 X11 – 0,25 X21 – 0,25 X31  0

0,60 X31 – 0,40 X11 – 0,40 X21  0

0,70 X12 – 0,30 X22 – 0,30 X32  0

0,80 X22 – 0,20 X12 – 0,20 X32  0 Restricciones específicas de la mezcla

0,70 X22 – 0,30 X12 – 0,30 X32  0

0,85 X32 – 0,15 X22 – 0,15 X12  0

0,65 X23 – 0,35 X13 – 0,35 X33  0

FUNCIÓN OBJETIVO Bº = Ingresos – Gastos

Abono 1:

2000(X11 + X21 + X31) – 1300X11 – 1500X21 – 1000X31 = 700X11 + 500X21 + 1000X31

Abono 2:

3000(X12 + X22 + X32) – 1300X12 – 1500X22 – 1000X32 = 1700X12 + 1500X22 + 2000X32

Abono 3:

1500(X13 + X23 + X33) – 1300X13 – 1500X23 – 1000X33 = 200X13 + 500X33

Max (700X11 + 1700X12 + 200X13 + 500X21 + 1500X22 + 1000X31 + 2000X32 + 500X33)

Así pues, una vez definidas las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones sujetas a ella, hemos trabajado los datos para proceder a su resolución. Por tanto, en el siguiente cuadro se muestra el resumen de la solución óptima hallada a través de los cálculos, y en la siguiente página presentamos el último cuadro del SIMPLEX.

SOLUCIÓN ÓPTIMA:

X11 = 0 S1 = 0

X12 = 4000 S2 = 3328

X13 = 0 S3 = 0

X21 = 0 S4 = 0

X22 = 2182 S5 = 0

X23 = 490 S6 = 1818

X31 = 0 S7 = 727

X32 = 1091 S8 = 0

X33 = 909 S9 = 0

Z = 12700000 S10 = 0

En este cuadro se destaca principalmente la presencia de 10 variables de holgura (S), cada una de las cuales hace referencia a cada una de las restricciones que condicionan a la función objetivo.

Por tanto, puesto que ya sabemos que una variable básica es aquella cuya solución óptima es diferente de cero, podríamos clasificar las variables de la solución de la siguiente forma:

Variables básicas: X12 , X22 , X23 , X32 , X33 , S2 , S6 , S7 .

Variables no básicas: X11 , X13 , X21 , X31 , S1 , S3 , S4 , S5 , S8 , S9 , S10

Así pues, tal y como se ve reflejado en la solución del modelo de programación lineal que hemos definido, estas serían las combinaciones de ingredientes y las cantidades de abono producidas que nos permiten maximizar el beneficio:

Abono 1:

No utilizamos ningún ingrediente para conseguir este tipo de abono, por lo que no vamos a producir nada de él.

Abono 2:

Para conseguir este tipo de abono emplearemos 4000 kg del ingrediente A, 2182 kg del ingrediente B y 1091 kg del ingrediente C por lo que vamos a producir y vender 7273 kg del abono tipo 1.

Abono 3:

Para producir este tipo de abono emplearemos 490 kg del ingrediente B y 909 kg del ingrediente C, sin utilizar nada del ingrediente A, a partir de los cuales produciremos y venderemos 1399 kg del abono tipo 3.

Problema 05:

(Mezcla) Una compañía destiladora tiene dos grados de güisqui en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50% de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca súper consta de dos terceras parte del grado I y una tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000 galones de grado I y 2000 galones del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5, mientras que cada galón del súper produce una utilidad de $6 ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades?

MARCAS GRADO I GRADO II UTILIDAD

REGULAR 50% 50% $ 5

SÚPER 75% 25% $ 6

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar?

x1 = la Cantidad de güisqui de la marca regular en

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