Variables aleatorias continuas

4.1 Variables aleatorias continuas

Sea una variable aleatoria con valores en y una densidad de probabilidad sobre . Se dice que es una variable aleatoria continua de densidad si para todo intervalo de se tiene:

La ley de la variable aleatoria es la ley continua sobre , de densidad .

Para determinar la ley de una variable aleatoria continua, hay que calcular su densidad. De manera equivalente, la ley de una variable continua se determina dando la probabilidad de que ella pertenezca a un intervalo cualquiera. Es lo que hemos hecho para nuestro ejemplo de base, el llamado aRandom, que es una variable aleatoria continua, de densidad . Una variable aleatoria continua de densidad , cae entre y con una probabilidad igual a :

Mientras más grande sea la densidad en un segmento, mayores serán las probabilidades de que caiga en ese segmento, lo cual justifica el término ``densidad''.

Como ya hemos observado para Random, la probabilidad de que una variable aleatoria continua caiga en un punto cualquiera es nula.

En consecuencia:

Observemos también que el modificar una densidad en un número finito o numerable de puntos, no cambia de las integrales sobre los segmentos y en consecuencia la ley de probabilidad asociada tampoco cambia. El valor que toma la densidad en un punto particular, no es importante. Por ejemploRandom tiene como densidad a pero da lo mismo usar . Como en los casos discretos, debemos conocer algunos ejemplos básicos. Las densidades se dan en un punto cualquiera de .

Ley uniforme.

La ley uniforme sobre un intervalo es la ley de ``sorteos al azar'' en un intervalo. Si son dos números reales, la ley uniforme sobre el intervalo se denota por . Ella tiene por densidad a la función:

Random es una variable aleatoria de ley uniforme .

Ley exponencial.

Las leyes exponenciales modelan intervalos de tiempo o duraciones aleatorias, como la vida de una partícula en física. La ley exponencial de parámetro se denota por . Ella tiene por densidad a la función:

Ley normal.

La l

ey normal, ley de Gauss o Laplace-Gauss es la más célebre de las leyes de probabilidad. Su éxito y su omnipresencia en las ciencias de la vida vienen del Teorema del Límite Centrado que estudiaremos más adelante. La ley normal de parámetros y se denota por . Ella tiene por densidad a la función:

Las leyes exponenciales y normales constituyen el núcleo de las familias de leyes clásicas que se encuentran mas frecuentemente en estadística.

Ley de Weibull.

La ley de Weibull de parámetros y , denotada por , tiene por densidad:

Se la emplea como modelo de duración aleatoria, principalmente en fiabilidad (duración de funcionamiento sin roturas, duración de reparación). La ley es la ley .

Ley gamma.

La ley gamma de parámetros y , denotada por tiene por densidad:

donde es la ``función gamma'', definida por . Para entero, y , la ley es llamada ley de chi cuadrado con grados de libertad y se denota por . Esta es la ley de la suma de los cuadrados de variables aleatorias independientes de ley , se emplea para las varianzas empíricas de muestras gaussianas. La ley es la ley exponencial .

Ley beta.

La ley beta de parámetros y , denotada por tiene por densidad:

Esta familia de leyes nos provee de modelos no uniformes para variables aleatorias acotadas. Si unas variables aleatorias independientes siguen la ley uniforme , sus estadígrafos de orden (valores reordenadas) siguen leyes beta.

Ley log-normal.

La ley log-normal es la ley de una variable aleatoria, de valores positivos, cuyo logaritmo sigue la ley . Ella tiene por densidad a la función:

En medicina, numerosos parámetros fisiológicos son modelados empleando leyes log-normales.

Ley de Student.

La ley de Student con grados de libertad, , es la ley de la relación , donde las variables aleatorias e son independientes, de ley , de ley . Ella tiene por densidad a la función:

Se la utiliza para estudiar la media empírica de una muestra gaussiana.

Ley de Fisher.

La ley de Fisher de parámetros y (enteros positivos) es la ley de la relación , donde e son dos variables aleatorias independientes de leyes y respectivamente. Ella tiene por densidad a la función:

Se la emplea para comparar las varianzas de muestras gaussianas.

4.2 Función de Densidad Acumulada

La función de probabilidad acumulada o función de distribución de una variable aleatoria sobre , denotada por , es definida por la relación

4.3 Valor Esperado

El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar o perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del juego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los parámetros que describen una variable aleatoria.

Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidades f(x). Entonces, el valor esperado de la variable aleatoria X, el cual se representa por E(X), está definido por:

E(X) = å xi f(xi)

Lo anterior significa, que para calcular E(X) se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y después se suman esos productos.

El valor esperado representa el valor promedio que se espera suceda, al repetir el experimento en forma independiente una gran cantidad de veces. El valor esperado se interpreta físicamente como el centro de masa o centro de gravedad de la distribución de probabilidad, por lo que es igual a lamedia o promedio aritmético, los cuales se representan con la letra m.

De acuerdo a lo anterior podemos escribir que:

E(X) = m = å xi f(xi)

Si se lanzan dos dados legales, encontrar el valor esperado.

Solución.

Definamos la variable aleatoria X como la suma de los números que aparecen al lanzar dos dados legales. Como vimos en el problema anterior, la distribución de probabilidad es:

å xi f(xi) =

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

En particular, si la distribución de probabilidades es simétrica como en el ejemplo anterior, el valor esperado coincide con el valor de la variable que tiene la mayor probabilidad en la distribución.

Una aplicación del valor esperado puede ser la siguiente.

Un casino le permite a un jugador que lance un dado legal y que reciba tantos pesos como puntos aparezcan en la cara superior del dado. El jugador debe pagar una cantidad k de pesos cada vez que juegue. Calcular cuanto debe valer k para que el jugador ni gane ni pierda.

Solución.

Sea X la variable aleatoria que representa el resultado al lanzar un dado. Su distribución de probabilidad es la siguiente:

1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

En este caso el valor esperado debe ser igual al valor k, con lo que se espera que el jugador ni gane ni pierda. Aplicando la fórmula del valor esperado tenemos:

å xi f(xi) = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) +5(1/6) + 6(1/6) = 3.5

El jugador debe pagar 3.5 pesos cada vez que participa en un juego.

Si la cuota k fuera de 4 pesos por juego, la ganancia neta esperada del casino es de 0.50 pesos por juego, ya que k - = 4.00 - 3.50 = 0.50 pesos. Como lo que recibe el jugador en un solo juego no puede ser igual a 3.5 pesos (debe ser un número entero entre 1 y 6), entonces la E(X) no necesariamente coincide con el resultado de un solo juego.

El significado de E(X) = 3.5 pesos, es que si el juego se realiza un gran número de veces, el cociente debe ser aproximadamente igual a 3.5 pesos.

Consideremos una lotería con mil números. Cada número cuesta 25 centavos y el premio es de 100 pesos. Calcular cuánto se espera ganar o perder cada vez que se participa en esta lotería.

Solución.

Sea X la variable aleatoria utilidad que obtiene la persona que participa en la lotería y los valores que puede tomar son:

Cuando gana = 99.75 pesos (100 que gana del premio, menos 0.25 del costo del número).

Cuando pierde: –0.25 pesos (costo del número)

Por su parte, la probabilidad de ganar es 1/1000 y de perder 999/1000.

De acuerdo a los datos anteriores, la distribución de probabilidad es:

X = xi 99.75 -0.25

f(xi) 1/1000 999/1000

Por lo tanto, el valor esperado es:

å xi f(xi) = (99.75) (1/1000) + (-0.25) (999/1000) = -0.15

O sea que la persona que participe en la lotería espera perder 15 centavos en cada juego.

Variancia.

Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento de la distribución de probabilidad, porque proporcionan una descripción completa de la forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la de dispersión.

La primera está representada por la media o valor esperado, ya

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