Variables Aleatorias: Discretas y Continuas

Variables Aleatorias: Discretas y Continuas

En todo proceso de observación o experimento aleatorio podemos definir una variable aleatoria asignando a cada resultado del experimento un número: • si el resultado del experimento es numérico porque contamos o medimos, los posibles valores de la variable coinciden con los resultados del experimento. • si el resultado del experimento es cualitativo, hacemos corresponder a cada resultado un número siguiendo algún criterio. Una variable aleatoria X es una función definida sobre el espacio muestral Ω (conjunto de los resultados de un experimento aleatorio) que toma valores en el cuerpo de los números reales IR

Una variable aleatoria puede ser discreta o continua según sea el rango de esta aplicación.

• DISCRETA: Una variable aleatoria es discreta si toma un número de valores finito o infinito numerable. Estas variables corresponden a experimentos en los que se cuenta el número de veces que ha ocurrido un suceso.

Ejemplo: Supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces una moneda no trucada; si consideramos la variable aleatoria X=”número de caras obtenidas en los tres lanzamientos”, los valores que puede tomar esta variable aleatoria son finitos (0,1, 2, 3).

• CONTINUA: Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor de un intervalo real de la forma (a, b),(a,∞),(−∞, b),(−∞, +∞) o uniones de ellos. Por ejemplo, el peso de una persona, el tiempo de duración de un suceso, etc.

Ejemplo: si consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el nivel de agua en un embalse y tomamos la variable aleatoria X=”nivel de agua”, esta puede tomar valores entre 0 y más infinito.

Distribución de probabilidades general

Al realizar una medición de una ocurrencia de los valores de una variable aleatoria, forzosamente será por medio del concepto de probabilidad,  a dicho comportamiento se le conoce como distribución de probabilidades

Si a cada elemento se le asigna una probabilidad.

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. 

Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales

En el lenguaje simbólico se establece que F( Xi), es la probabilidad de que una varibale aleatoria “X” tome el valor de Xi

Propiedades de la función de la distribución de probabilidades para el caso discreto.

Las características para la distribución de probabilidades  son que ninguno de sus valores será negativo, y la suma de los valores de la función de distribución sobre todos los valores de la variable aleatoria es la unidad (1) o el 100%

Función de distribución de probabilidades de una variable aleatoria continua.

Hace referencia al área bajo la curva de f entre x=a y x=b si {a→R definiendo para establecer P(a < x < b) o por el cálculo de la integral correspondiente

Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo.

Ejemplo: x es la Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral (14.8 gr, 12.1, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …, n)

Características de una distribución de probabilidad: Esperanza y desviación estándar

Las medidas para ambos tipos de variable aleatoria son las mismas en nombre y significado, solo cambia el  cálculo operativo para su obtención.

• Medida de centralización( Esperanza):

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria tiene sus orígenes en los juegos de azar, debido a que los apostadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar repetidamente un juego, por lo tanto, el valor esperado representa la cantidad de dinero promedio que el jugador está dispuesto a ganar o perder después de un número grande de apuestas. 

El valor esperado de una Variable Aleatoria X es el promedio ponderado de todos los valores posibles de la misma. Dónde los pesos son las probabilidades asociadas con los valores.

Para calcular el valor esperado de una variable aleatoria por su correspondiente probabilidad y luego sumar los términos resultante.

Se usara el siguiente modelo:

E(x) = µ = ∑xif (x)= ∑XiP(X=Xi)

Ejemplo: Supongamos que en el juego de los dados si sale 1, 2 o 3 pierdo un dólar, si sale un 4 o un 5 no gano nada y si sale 6 gano 2 dólares. ¿Cuánto puedo esperar ganar si juego 100 veces seguidas?

E(x) = -1· (1/6 )+ -1 (·1/6)+ -1 (1/6) + 0(1/6) + 0(1/6) + 2(1/6) = -1/6 -1/6 -1/6 +2/6 = -1/6

100 · (-1/6) = -100/6 = -16,7 dólares → si se tira el dado 100 veces puedo esperar perder unos 16,7 dólares de media.

• Medida de desviación: Es denominada por desviación estándar o típica de una variable “X” y denotada por s2 ( X)

Es un promedio ponderado de las de las desviaciones al cuadrado.

s[pic 1]

Ejemplo: Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas. Haz una tabla con las probabilidades. Calcula la esperanza matemática y la desviación típica. Representa gráficamente las probabilidades obtenidas.

Construimos tabla

Llamamos xi al suceso obtener cara

Tenemos tres monedas, el número de caras xi que podemos obtener será: 0, 1, 2 y 3.

• La probabilidad de no obtener ninguna cara será obtener tres cruces {XXX} = 1/8
• La probabilidad de obtener una cara será {XCX, XXC, CXX } = 3/8
• La probabilidad de obtener dos caras será {CCX, CXC, XCC } = 3/8
• La probabilidad de obtener tres caras será {CCC} = 1/8

Escribimos los valores de xi y pi obtenidos en la tabla.

Añadimos la columnas xi·pi y pi·xi2 para calcular la esperanza matemática y la desviación típica.

[pic 2]

E(x) = µ = ∑xif (x)= ∑XiP(X=Xi) =  1.5

s= = =  .87[pic 3][pic 4]

Comportamientos de escenarios paramétricos con incertidumbre.

Distribución Binomial.

Fue establecida para un gran número de fenómenos donde solo ocurren dos características, en cuya cantidad es una situación , así como su complemento o negación, por ello el prefijo "Bi"

Ejemplo:

• Votar o no votar
• Comprar o no comprar
• Aprobar/ reprobar

Al ser binomial, tiene como antecedentes las propiedades del número combinatorio del teorema binomio de Newton y el experimento de Daniel Bernoulli.

En la teoría de la probabilidad se estudió el número combinatorio como una técnica de conteo llamada combinación

Es la distribución de probabilidad que se asocia a variables que sólo toman dos valores, el 0 y el 1.

P(X = 1) = p , P(X = 0) = 1 − p , 0 < p < 1

Intuitivamente, una variable dicotómica ó de Bernoulli aparece asociada a un experimento éxito-fracaso, donde 1 representa el éxito y 0 el fracaso.

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