APUNTES DE DISTRIBUCIONES COMUNES
Enviado por alanvasquez1985 • 11 de Septiembre de 2017 • Ensayos • 5.758 Palabras (24 Páginas) • 157 Visitas
APUNTES DE DISTRIBUCIONES COMUNES
DISTRIBUCION BERNOULLI
Uno de los experimentos más simples que podemos realizar es aquél donde los resultados posibles son sólo dos; por ejemplo, lanzar una moneda equilibrada (cara, sello), la clasificación de un artículo que está siendo inspeccionado (defectuosos, no defectuoso),... Este tipo de experimentos con sólo dos resultados posibles se denomina Ensayo Bernoulli y sus eventos elementales, comúnmente llamados éxito y fracaso los denotaremos por E y F, respectivamente.
El espacio muestral asociado a un ensayo bernuolli es , y asignamos probabilidad al suceso E y al suceso F, donde . Así, , es la probabilidad de éxito y es la probabilidad de fracaso.
En realidad cualquier experimento puede ser usado para definir un ensayo bernouli simplemente denotando algún evento de interés, A como éxito y su complemento como fracaso.
Definición: Sea el espacio muestral de un experimento. Sea , cualquier evento con . Definimos la variable aleatoria bernoulli con parámetro , como
La notación más usual para indicar que X se distribuye bernoulli es X∼bernoulli(p).
Dado que el recorrido de X es , ella es discreta y su función de probabilidades es dada por
Teorema. Sea X~ bernoulli(p). Entonces se tiene que
Demostración: ( Hacerla )
DISTRIBUCION BINOMIAL
Un experimento que consiste de n ensayos bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de éxito p, se llama experimento Binomial con n ensayos y parámetro p.
Definición: Supongamos que realizamos ensayos Bernoulli independientes, con probabilidad de éxito p en cada ensayo. Si X es el número total de éxitos observados en un experimento binomial, entonces X se llama variable aleatoria Binomial con parámetros n y p.
Dado que X cuenta el número de éxitos observados en un experimento binomial, es claro que , así X es una variable aleatoria discreta. Se puede probar que la función de probabilidad de X es dada por
Ejemplo.
Un agricultor que siembra fruta afirma que 3/5 de su cosecha de duraznos ha sido contaminada por la mosca del mediterráneo. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar 10 duraznos (aleatoriamente) de un cajón:
- Exactamente uno esté contaminado con la mosca del mediterráneo.
- ¿Cuál es el número esperado de duraznos contaminados?
Desarrollo.
Sea
X:”Número de duraznos contaminados por la mosca de la fruta de los 10 inspeccionados”
como X indica el número de éxitos en n-ensayos tenemos que X∼b(10, 0.6). Así la f.d.p es
a) , así la probabilidad de que exactamente un durazno este contaminado con la mosca de l fruta es de un 0,16%.
b), es decir, se esperan encontrar 6 duraznos contaminados.
DISTRIBUCION GEOMETRICA
Definición: Supongamos que realizamos ensayos Bernoulli independientes, con probabilidad de éxito p en cada ensayo. Si X es el número de ensayos necesarios para obtener el primer éxito, entonces X se llama variable aleatoria Geométrica de parámetro p.
Para determinar la función de probabilidades de X, notemos que ella es discreta y que RX ={1, 2,...}. La probabilidad de obtener éxito en el primer ensayo está dado por P( X=1) = P ( E ) = p, de manera análoga la probabilidad de obtener el éxito en el segundo ensayo es P(X=2)=P(FE)=pq y la de lograr el primer éxito en el tercer ensayo es P( X = 3 ) = q2 p. De esta forma si X es una variable aleatoria geométrica, su función de probabilidades está dada por:
Es fácil verificar que la expresión anterior es función de probabilidad y recibe el nombre de Distribución Geométrica ya que sus términos forman una progresión geométrica.
Ejercicio.
Verificar que la expresión , es función de probabilidad.
Solución.
Para probar que es una función de probabilidades debemos probar que . así tenemos que
la expresión anterior es una serie geométrica con razón , luego es convergente, y recordemos que converge al primer término dividido por uno menos la razón. Así tenemos:
La esperanza de una variable aleatoria geométrica es:
de aquí se tiene que . Se puede probar de una manera análoga que .
Para determinar la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X ∼G(p), notemos que:
Por lo tanto se tiene que si X ∼G(p), entonces
Observación.
La distribución Geométrica tiene la propiedad de ser desmemoriada, propiedad que no es compartida por ninguna otra distribución discreta. Esto significa que P(X>a+b/X>a)=P(X>b), con a y b enteros positivos; esto es la posibilidad de observar más de b ensayos adicionales para obtener el primer éxito cuando se sabe que se llevan ya más de a ensayos observados, corresponde a la probabilidad incondicional de observar más de b ensayos.
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