Algebra Linelanucleo 3 Segundo Semestre

1. MATRICES

Se denomina matriz a todo conjunto de números reales o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. El concepto de matriz como cuadro o tabla de números es una de las herramientas con mayor número de aplicaciones. Así, encontramos matrices en Sociología (matriz asociada a un gráfico), en Economía (matriz de input-output, matriz de un juego), Demografía (matriz de evolución de la población) y en otros ámbitos.

Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas.

El orden de una matriz se representa como: m x n, donde “m” es el número de filas y “n” el número de columnas.

Se llama matriz de dimensión , a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:

La matriz A se puede designar también como:

Un elemento genérico de la matriz se designa por , donde el sub-índice i representa el número de fila que ocupa el elemento y el sub-índice j el número de columna.

Ejemplo:

La siguiente matriz es una matriz 2x3

Donde sus filas son: (1, -3, 4) y (0, 5, -2)

Y sus columnas son:

Conjuntos De Matrices

El conjunto de matrices de dimensión se denota por:

El conjunto de matrices de dimensión , también llamadas de orden n, se denota por:

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Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:

la diagonal principal formada por los elementos

la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma que cumplen i + j = n + 1.

2. TIPOS DE MATRICES ESPECIALES

2.1. Matrices Rectangulares

Matriz Rectangular: es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas

Matriz Fila: es toda matriz rectangular con una sola fila, de dimensión

Matriz Columna: es toda matriz rectangular con una sola columna, de dimensión m

Matriz Nula: es una matriz con todos sus elementos nulos. Se denota por 0.

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2.2. Matrices Cuadradas

Matriz Cuadrada de orden n: es aquella que tiene igual número de filas que de columnas (m = n). su dimensión es también se llaman de orden n, se denota por

Dimensión 2x2,

Diagonal principal: elemento

Diagonal segundaria: elementos

Matriz Triangular: es aquella que tiene nulos todos los términos situados por debajo (triangular superior) o por encima (triangular inferior) de la diagonal principal.

Matriz Diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados en la diagonal principal son ceros.

Matriz Escalar es toda matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales.

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Matriz Unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos unos. Se designa por I.

Matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos. Se denota por 0.

Matriz Simétrica: Una matriz cuadrada A, es llamada simétrica si es igual a su transpuesta (A = AT).

Observación: En este tipo de matriz, los elementos ubicados simétricamente respecto a la diagonal principal, son iguales

Matriz Anti- simétrica: Una matriz cuadrada A, es llamada anti- simétrica si cumple: ( A = AT )

Matriz Idempotente si el resultado del producto matricial consigo misma es la misma matriz. Por ejemplo:

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Escriba la función es idempotente(a) que indique si la matriz a es idempotente o no.

Se dice que dos matrices A y B conmutan si los productos matriciales entre A y B y entre B y A son iguales.

Por ejemplo, estas dos matrices sí conmutan:

Matriz Compleja: Es toda matriz cuadrada, cuyos elementos son números complejos.

Matriz Conjugada: Sea A una matriz rectangular o cuadrada compleja. Si se forma otra matriz tomando los complejos de cada elemento de A se obtiene la matriz conjugada de A.

Matriz Adjunta: Si se tiene una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es la resultante de sustituir cada término de A por sus respectivos adjuntos. El adjunto de un término ai j de la matriz A resulta del determinante de la matriz que se obtiene de quitar a A la fila y la columna a la que pertenece el término ai j multiplicado por (−1) (i+j).

Matriz Hermética: Una matriz que es igual a su transpuesta conjugada; en el caso de ser de elementos reales, una matriz hermética es sinónima de simétrica. 3 2+i −2i A= 3+4i i 2+6i 2–6i 3 12i

Matriz Ortogonal: Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó −1.

Matriz Nilpotente: Si A es una matriz cuadrada y 0 = k A para algún número natural, k se dice que A es nilpotente. Si k es tal que 0 1 . - k A y , 0 = k A se dice que A es nilpotente de orden . k A continuación mostramos una matriz nilpotente de orden 2.

Matriz Unipotente: Decimos que una matriz cuadrada A de orden n es unipotente si y solo si se verifica que A.A = 0n, es decir A2 = I n.

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3. OPERACIONES CON MATRICES

3.1. Igualdad de matrices

Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Las matrices A= [aij] y B= [bij] son iguales si y sólo si tienen el mismo orden, además aij = bij para cada i y cada j (esto es, entradas correspondientes iguales).

3.2. Suma de matrices

Para dos matrices y B de la misma dimensión la suma de A y B es la matriz de la misma dimensión dada por:

Es decir, la suma de A + B se obtiene sumando los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas matrices.

La suma de matrices está, en definitiva, íntimamente ligada a la suma de números reales y, por tanto, todas las propiedades de la suma de números reales dan lugar a propiedades de la suma de matrices. Estas pueden verse en el margen.

Ejemplo de suma de matrices:

Sean las matrices

Entonces:

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Propiedades

 Asociativas: (A + B) + C = A + (B + C)

 Elemento neutro: es la matriz nula O, ya que A + O = O + A = A

 Elemento simétrico: el elemento simétrico de A es su matriz opuesta ya que se verifica A + (-A) = (-A) + A = O

 Conmutativa: A + B = B + A

3.3 Resta de matrices

Igual que trabajamos la suma de matrices, se trabaja la resta de matrices.

Recuerda que para efectuar una resta, igual que en la suma, estas matrices deben tener igual cantidad de filas y columnas.

Sean las matrices

Entonces:

3.4 Producto por un número (escalar)

Para un número real k y una matriz de dimensión el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimensión dada por:

Es decir, el producto k · A se obtiene multiplicando el número real por cada uno de los elementos de la matriz.

El número real k que multiplica a la matriz se denomina escalar. Esta operación siempre tiene sentido, es decir, puede efectuarse para matrices de cualquier dimensión.

Para un número real k y una matriz A, el producto se realiza así:

Las principales propiedades que posee el producto de un número por una matriz pueden verse en el margen.

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3.5 PRODUCTO DE MATRICES

Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz.

Para multiplicar dos matrices:

Tomamos la primera fila de la primera matriz y la multiplicamos por todas las columnas de la segunda, obteniendo así la primera fila de la matriz producto.

Tomamos la segunda fila de la primera matriz y la multiplicamos por todas las columnas de la segunda, obteniendo así la segunda fila de la matriz producto.

Y así sucesivamente con el resto de las filas de la primera matriz.

 Ejemplo de productos de matrices:

 Detengamos a considerar un ejemplo que justifica nuestra definición de multiplicación de matrices.

Nayibe y Jorge planean ir a comprar fruta para la semana próxima. Cada uno de ellos desea comprar algunas manzanas, naranjas y toronjas, pero en diferentes cantidades. La tabla 1 enumera lo que piensan adquirir. Existen dos mercados de fruta en las cercanías (el de don Samuel y el de don Jaime) y sus

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precios se proporcionan en la tabla 2 ¿Cuánto costara a Nayibe y a Jorge hacer sus compras en cada uno de los mercados?

Tabla 1

manzanas

toronjas

naranjas

Nayibe

6

3

10

Jorge

4

8

5

Tabla 2

Don Samuel

Don Jaime

manzanas

$10

$15

toronjas

$40

$30

Naranjas

$10

$20

Solución:

Si Nayibe compra a don Samuel, gastará

Si le compra a don Jaime, gastará

Jorge gastaría con don Samuel

Con don Jaime gastaría

Es de suponer que Nayibe comprará a don Samuel y Jorge a don Jaime.

La forma de producto punto de estos cálculos sugiere que, en este caso, la multiplicación de matrices está presente. Si organizamos la información dada en una matriz D de demanda y una matriz de precios P, tenemos que:

Los cálculos anteriores son equivalentes a calcular el producto

De este modo, la matriz producto DP nos dice cuál será el costo de las compras de cada persona en cada una de las tiendas (tabla 3)

Tabla 3

Don Samuel

Don Jaime

Nayibe

$280

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