Calculo semana 5 sumativa

1. Una empresa calcula que al vender X kilos de harina, su ingreso en pesos está dado por la función:

I(X) = 48.000X – 4x²

Suponiendo que el costo total en pesos de fabricación de X kilos es:

C(x) = 5.000x + 2x²

a) Función de ingreso marginal

Respuesta:

I′(x) = (48.000x)′ − (4x 2 )′

I′(x) = 48.000 − 4 ∙ 2 ∙ x

I′(x) = 48.000 – 8x

b) Calcula e interpreta I´(500) y I´(800)

Respuesta:

I’ (500) = 48.000 – 8x

I’ (500) = 48.000 – 8 (500)

I’ (500) = 44.000

Si la producción es de 500 kilos de harina, genera un ingreso adicional de $44.000

I’ (800) = 48.000 – 8x800

I’ (800) = 48.000 – 6.400

I’ (800) = 41.600

Si la producción es de 800 kilos de harina, la venta del kilo generaun ingreso de $41.600

c) Función de costo marginal

Respuesta:

C′(x) = (5.000x)′ + (2x 2 )′

C′(x) = 5.000 + 2 ∙ 2 ∙ x

C′(x) = 5.000 + 4x

d) Calcula e interpreta C´(650) y C´(700)

Respuesta para calcular C’(650)

C’ (x) = 5.000 + 4x

C’ (650) = 5.000 + 4 (650)

C’ (650) = 7.600

Si la producción es de 650 kilos de harina, la producción de un kilo más costará $7.600

Respuesta para calcular C’(700)

C’ (x) = 5.000 + 4x

C’ (700) = 5.000 + 4 (700)

C´ (700) = 7.800

Si la producción es de 700 kilos de harina, la producción de un kilo más costará $7800

2. Halla la pendiente de la recta tangente a la función en el punto indicado:

Respuesta

a)  f(x) = 2/x² + 2/x  + 4√x          en x = 4

f ’(x) = (2/x^2 +2/x+4√x)/dx  = (d(2x‾^2))/dx + (d(2x‾^1))/dx + (d(4x^1 ˊ^2))/dx  = -4x‾³ - 2x‾² + 2x‾¹ˊ²

f ’(x) = (-4)/x³-2/x^2 +2/√x

Este resultado corresponde a la pendiente de todas las rectas tangentes a la grafica f(x) = 2/x²+2/x+4√x, como se pide x = 4. Se reemplaza por este valor:

f ’(4) = (-4)/4³-2/4^2 +2/√4   =  (-4)/64-2/16+2/2  =  (-4-8+64)/64   = 52/64  = 13/16

f ’(4) = 13[pic 1]

           16

b) f(x) = (2x³ - 8x²) (x⁴ - x + 5)         en x = -1

Respuesta

f ’(x) = (2x³ - 8x²)  + (x⁴ - x + 5) [pic 2][pic 3]

f ’(x) = (2x³ - 8x²) (4x³ - 1) + (x⁴ - x + 5) (6x² - 16x)

f ’(x) = 8x⁶ - 2x³ - 32x⁵ + 8x² + 6x⁶ - 16x⁵ - 6x³ + 16x² + 30x² - 80x

f ’(x) = 14x⁶ - 48x⁵ - 8x³ + 54x² - 80x

Este resultado corresponde a la pendiente de todas las rectas tangentes a la grafica f(x) = (2x³ - 8x²)(x⁴ - x + 5), como se pide x = - 1. Se reemplaza por este valor:

f ’(-1) = 14(-1)⁶ - 48(-1)⁵ - 8(-1)³ + 54(-1)² - 80(-1)

f ’(-1) = 14 + 48 + 8 + 54 + 80

f ’(-1) = 204

c) f(x) =                 en x = ½[pic 4]

Respuesta

f ’(x) =   = [pic 5][pic 6]

f ’(x) =   =  [pic 7][pic 8]

f ’(x) =    =  [pic 9][pic 10]

Este resultado corresponde a la pendiente de todas las rectas tangentes a la grafica f(x) = como se pide x = 1/2. Se reemplaza por este valor:[pic 11]

f ´(1/2) =    =     =  - 4[pic 12][pic 13]

3. Determina la ecuación de la recta tangente y normal

Respuesta

f(x) =             en x = 2[pic 14]

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