DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

[pic 1]

DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

Cuando [pic 2]  y [pic 3], la distribución se conoce con el nombre de normal estándar.

Dada una variable aleatoria normal X, con media [pic 4] (también llamada Esperanza matemática) y desviación típica [pic 5], si definimos otra variable aleatoria.

[pic 6]

entonces la variable aleatoria Z tendrá una distribución de porcentaje altamente normal aunque algunas veces muy estándar y a la vez pequeña [pic 7] y [pic 8]. Se dice que se ha tipificado o estandarizado la variable X.

La probabilidad de que una variable aleatoria (que sigue una distribución normal) se encuentre entre dos valores determinados será en general difícil de calcular (hay que usar la integral de la función de probabilidad). Para ello, existen tablas de distribución normal tipificada.

Ejemplo.

1. La fábrica de neumáticos DURAMAS produce un cierto tipo de neumáticos que tiene una vida útil media de 80 000 Km y una desviación estándar de 8 000 Km-. Suponiendo que esta vida útil esta distribuida normalmente. ¿Cual es la probabilidad de que un neumático dure más de 96 000 km?

Datos

µ = 80 000

σ = 8 000                                [pic 9][pic 10]

Solución

1 forma

P[ X > 96 000] =  =  = 0.02275[pic 11][pic 12]

[pic 13][pic 14]

Rspta. la probabilidad de que un neumático dure más de 96 000 km es del 2.28%

2 forma

Calc/distribución de probabilidad/ normal

P[ X > 96 000] = 1 - P[ X ≤ 96 000]

[pic 15] 1 - P[ X ≤ 96 000] = 1 – 0.977250 = 0.02275[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Rspta. la probabilidad de que un neumático dure más de 96 000 km es del 2.28%

1. El tiempo de maquina necesario para fabricar una unidad del producto TONIX está distribuido normalmente con media 50 min y desviación estándar de 5 min. Se desea fabricar una partida de 4000 unidades de dicho producto.

DATOS

µ = 50                                        E[X] = np

σ = 5

n = 4000

1. ¿Cuántas unidades requerirán, un tiempo de máquina de más de 53 min?

P [ X > 53] = ¿?

1 forma 

 = P[ Z > 0.6] = 0.2743[pic 22]

 E[X] = np    🡪     E[X] = 4000 ( 0.2743) = 1097.2 = 1097[pic 23]

Rspta. 1097 unidades requerirán, un tiempo de máquina de más de 53 min.

2 forma

P [ X > 53] = ¿?

P [ X > 53] = 1 - P [ X ≤ 53]

[pic 24]  1 - P [ X ≤ 53] = 1 – 0.725747 = 0.274253[pic 25]

E[X] = np    🡪     E[X] = 4000 ( 0.2743) = 1097.2 = 1097

Rspta. 1097 unidades requerirán, un tiempo de máquina de más de 53 min.

b) ¿Cuántas unidades requerirán un tiempo de maquina comprendido entre 48 y 53 minutos inclusive?

P [ 48 < X < 53] =??

P [ ] = P [-0.4 < Z < 0.6] = 0.3812[pic 26]

E[X] = np    🡪     E[X] = 4000 ( 0.3812) =1524.8 = 1525[pic 27]

Rspta. 1525 unidades requerirán un tiempo de maquina comprendido entre 48 y 53 minutos inclusive.

2 forma

P [ 48 < X < 53] =??         P [ X ≤ 53] -  P [ X ≤ 48]   = 0.725747 – 0.344578 = 0.3812[pic 28]

[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

[pic 37]

Normal con media = 50 y desviación estándar = 5

Normal con media = 50 y desviación estándar = 5

E[X] = np    🡪     E[X] = 4000 ( 0.3812) =1524.8 = 1525

Rspta. 1525 unidades requerirán un tiempo de maquina comprendido entre 48 y 53 minutos inclusive.

1. Las calificaciones de 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6.5 y varianza 4.

DATOS

        n = 500

            µ = 6.5

        σ2 = 4        σ  = [pic 38]

1. Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos.

P [ X > 8]

 =  = 0.2266[pic 39][pic 40]

[pic 41]

Rspta. la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos es del 22.66%

2 forma

P [ X > 8] = 1 – P [ X ≤ 8] = 1 -  0.773373 = 0.226627

[pic 42][pic 43]

Rspta. la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos es del 22.66%

1. Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos.

 P [ X < 5] =  = P [ Z < -0.75] = 0.2266[pic 44]

[pic 45]

Rspta. La proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos es del 22.66%

2 forma

Normal con media = 6.5 y desviación estándar = 2

Rspta. La proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos es del 22.66%

1. ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7.5?

P [ 5 < X < 7.5]

P [ ] = P [ ] = 0.4648[pic 46][pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

Rspta . 232 aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7.5

2 forma

P [ 5 < X < 7.5] = P [ X ≤ 7.5 ] – P [ X ≤ 5]  = 0.691462 – 0.226627 = 0.464835

[pic 50]

[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

Normal con media = 6.5 y desviación estándar = 2

Normal con media = 6.5 y desviación estándar = 2

1. El número de horas que un estudiante universitario se dedica por semana al estudio, se distribuye normalmente con una media de 25 horas y una desviación estándar de 10 horas, se elige al azar un estudiante.

Datos

        µ = 25                        σ= 10

1. ¿Qué probabilidad hay que estudie al menos 20 horas/semana?

P [ X ≥ 20] = P [ ≥ ] = P[Z ≥ - 0.5] = 0.6915[pic 57][pic 58]

[pic 59]

Rspta. La probabilidad de que estudie al menos 20 horas/semana es del 69.15%

  2 forma

P [ X ≥ 20] = 1 - P [ X ≤ 20]

[pic 60] 1 - P [ X ≤ 20] = 1 – 0.308538 = 0.691462[pic 61]

1. ¿Qué probabilidad hay que estudie a lo más 15 horas/semana?

P [ X ≤ 15] = P [  ≤ ] = P [ Z ≤ -1] = 0.1587[pic 62][pic 63]

[pic 64]

Rspta. La probabilidad de que estudie a lo más 15 horas/semana es del 15.87%

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