Distribución de probabilidad normal

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        En estadística y probabilidad, la distribución normal, también llamada distribución de Gauss refleja cómo se distribuyen los datos en una población.

Se trata de la distribución más frecuente en estadística, y se considera la más importante por la gran cantidad de variables reales que adoptan su forma. Así, muchas de las características en la población se distribuyen según una distribución normal: la inteligencia, datos antropométricos en los seres humanos (por ejemplo la altura, la talla...), entre otros.

Una distribución describe cómo se distribuyen ciertas características (o datos) en una población. La distribución normal es el modelo continuo más importante en estadística, tanto por su aplicación directa (ya que muchas variables de interés general pueden describirse por dicho modelo), como por sus propiedades, que han permitido el desarrollo de numerosas técnicas de inferencia estadística.

La distribución normal se trata, pues, de una distribución de probabilidad de una variable continua. Las variables continuas son aquellas que pueden adoptar cualquier valor en el marco de un intervalo que ya está predeterminado. Entre dos de los valores, siempre puede existir otro valor intermedio, susceptible de ser tomado como valor por la variable continua. Un ejemplo de variable continua es el peso.

Históricamente, el nombre de “Normal” proviene del hecho de que durante un tiempo se creyó, por parte de médicos y biólogos, que todas las variables naturales de interés seguían este modelo.

        La distribución normal se puede definir como un modelo teórico capaz de aproximar satisfactoriamente el valor de una variable aleatoria a una situación ideal.

En otras palabras, la distribución normal adapta una variable aleatoria a una función que depende de la media y la desviación típica. Es decir, la función y la variable aleatoria tendrán la misma representación pero con ligeras diferencias.

Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier número real. Por ejemplo, las rentabilidades de las acciones, los resultados de un examen, el coeficiente de inteligencia IQ y los errores estándar son variables aleatorias continuas.

Una variable aleatoria discreta toma valores naturales. Por ejemplo, el número de estudiantes en una universidad.

La distribución normal es la base de otras distribuciones como la distribución t de Student, distribución ji-cuadrada, distribución F de Fisher y otras distribuciones.

Paula Rodó(10 de noviembre, 2019).Distribución normal. Economipedia.com

Grafìca de Normal

tambien llamada Grafica de Campana Gauss La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal. Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una "normalidad" más o menos justificada de la variable aleatoria bajo estudio.

En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.

Representacion de una Grafica de Distribución de Probabilidad normal.

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¿Qué necesitamos para representar una distribución normal?

• Una variable aleatoria.
• Calcular la media.
• Calcular la desviación típica.
• Decidir la función que queremos representar: función de densidad de probabilidad o función de distribución.

Propiedades

La distribución normal tiene importantes propiedades teóricas:

• Tiene una apariencia de forma de campana (y, por ende, es simétrica).

• Sus medidas de tendencia central (media, mediana y moda) son todas idénticas.

• Su «50% central» es igual a 1,33 desviaciones estándar. Esto significa que el rango intercuartil está contenido dentro de un intervalo de dos tercios de una desviación estándar por debajo de la media y de dos tercios de una desviación estándar por encima de la media.

• Su variable aleatoria asociada tiene un rango infinito (-∞ < X < ∞).

• Hay dos parámetros que determinan su forma: la media y la desviación estándar.

• Distribución unimodal. Los valores que son más frecuentes o que tienen más probabilidad de aparecer están alrededor de la media. En otras palabras, cuando nos alejamos de la media, la probabilidad de aparición de los valores y su frecuencia descienden.

En la práctica, muchas variables tienen distribuciones que se asemejan a las propiedades teóricas de la distribución normal.

Tipificación de 0 en Z

Para calcular probabilidades con variables que siguen la distribución normal se usan tablas. Pero, puesto que sería imposible tener una tabla para cada posible distribución normal, solamente la tenemos para la distribución normal estándar, es decir, para la  N( 0 , 1 ).

Necesitaremos, pues, ser capaces de transformar las variables X "normales" N(µ,σ) que encontremos, en variables Z que sigan una distribución normal estándar N(0,1). Este proceso de llevar cualquier distribución normal a una N( 0 , 1 ) se llama "tipificación de la variable".

Para tipificar X (o sea, transformarla en Z), el primer paso es "centrar" la variable; es decir, hacer que la media µ sea 0.

El siguiente paso es conseguir que la desviación típica σ sea 1.

Por tanto para tipificar una variable lo que hemos de hacer es restar la media y dividir por la desviación típica.

Si tenemos una distribución normal, llamamos tipificar la variable al proceso de convertirla en una Normal Estándar, lo cual nos permitirá poder consultarla en las tablas.

Veamos cómo se aplica en la práctica.

Enunciado: Sabemos que X sigue una distribución normal de media 20 y desviación típica 4.

Calcula  P(X ≤ 22)

Solución:

Sabemos que X→ N (20, 4)
Nos piden P(X ≤ 22)
Tipificamos:   = = [pic 3][pic 4][pic 5]

Como Z sigue una N (0, 1), podemos mirarlo en las tablas P(Z ≤ 0,5) = 0,6915
Por tanto el resultado es P(X ≤ 22) = 0.6915  

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