DISTRIBUCION NORMAL

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, ARQUITECTURA Y GEOTECNIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA GEOLÓGICA Y GEOTECNIA

CAPITULO I

1. Objetivos

1. Objetivo General:

• Determinar las funciones de distribución de probabilidad de una estación hidrométrica.

1. Objetivos Específicos:

• Aprender a utilizar la tabla de probabilidades de la distribución normal.
• Calcular la distribución Normal y LogNormal.

1. Marco Teórico

En estadística existen muchas funciones de distribución de probabilidad teórica, las funciones de distribución de probabilidad teórica más usadas en hidrología son las siguientes:

1. Distribución Normal:

Esta distribución también es conocida como la distribución gaussiana, es una distribución acampanada, simétrica y unimodal. Además, cuando se grafica se observa en forma de una campana. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución normal cuando su función de densidad de probabilidad es:

[pic 1]

Donde:

 función de densidad normal de la variable x[pic 2]

 variable independiente[pic 3]

 parámetro de localización igual a la media aritmética de x[pic 4]

 parámetro de escala igual a la desviación estándar de x[pic 5]

 base de logaritmo neperiano[pic 6]

1. Media:

Para el calculo de la media se utiliza la siguiente formula:

[pic 7]

1. Desviación Estándar:

Utilizamos la siguiente formula:

[pic 8]

Una característica importante de la distribución normal estándar es que tienen la media cero y la varianza igual a 1.

1. Variable estandarizada (Z):

Para su aplicación lo mas fácil es la utilización de una tabla que relación Z versus f(Z) para lo cual se ha definido la variable estandarizada como:

[pic 9]

1. Distribución Log-Normal:

Las variables de interés en hidrología son generalmente positivas, por lo que es usual que presenten distribuciones de frecuencia asimétricas, por lo que se propone aplicar una transformación logarítmica a la variable de interés y luego utilizar el modelo de distribución normal para la variable transformada, la distribución así obtenida se denomina log-normal, por ejemplo si la variable aleatoria X, tiene una distribución log-normal, esto significa que  Y= ln X, tiene una distribución normal.

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución log-normal, cuando su función de densidad de probabilidad se define como:

[pic 10]

[pic 11]

Donde:

 función de densidad log-normal de la variable x[pic 12]

 variable independiente[pic 13]

 media aritmética de los logaritmos naturales de x[pic 14]

 desviación estándar de los logaritmos naturales x[pic 15]

 [pic 16]

 base de logaritmo neperiano[pic 17]

CAPITULO II

1. CÁLCULOS Y RESULTADOS

1. Distribución Log-normal

Del ejercicio 01 obtenemos la tabla de datos de los caudales máximos anuales registrados en una estación hidrométrica.

• ¿Cuál es la probabilidad de que, en un año cualquiera, el caudal sea mayor o igual a 7000 m3/s? Hallamos la media poblacional: Para lo cual necesitaremos calcular el ln de cada caudal, siendo “y” la variable transformada.

[pic 18]

Tabla 5:Tabla de datos con los cálculos respectivos para hallar la media poblacional (Excel)

[pic 19]

[pic 20]

• Hallamos la desviación Estándar:

[pic 21]

Tabla 6: Tabla de datos con los cálculos respectivos para hallar la desviación Estándar (Excel)

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