MATEMÁTICAS FINANCIERAS

CALCULO DEL CAPITAL EN FUNCIÓN DE LA FORMULA DEL MONTO

Introducción

El dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran estrechamente ligados con la vida de las personas y de los negocios. Cuando se generan excedentes de efectivos, se ahorran durante un periodo determinado a fin de ganar un interés que aumente el capital original disponible; en otras ocasiones, en cambio, se tiene necesidad de recursos financieros durante un tiempo y se debe pagar un interés por su uso.

En periodos cortos por lo general se utiliza, como ya se vio, el interés simple. En periodos largos, sin embargo, se utiliza casi exclusivamente el interés compuesto.

En el interés compuesto, los intereses que se generan se suman al capital original en periodos establecidos y, a su vez, van a generar un nuevo interés adicional en el siguiente lapso.

En este caso se dice que el interés se capitaliza y que se esta en presencia de un operación de interés compuesto.

PERIODO DE CAPITALIZACION

El interés puede ser convertido en capital anual, semestral, trimestral y mensual, etc. A dicho periodo se le nombra de “periodo de capitalización”. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de conversión.

EJEMPLO

¿Cuál es la frecuencia de un depósito bancario que paga 5% de interés capitalizable trimestralmente?

= = 4

La frecuencia de conversión es igual a 4. El periodo de capitalización es trimestral.

MONTO COMPUESTO

El monto compuesto, como ya se a explicado, es el resultado que se obtiene al sumar al capital original el interés compuesto si se dispone de un capital C y se invierte en un banco y se dese a conocer el monto M del cual se dispondrá al final del periodo, solo debe agregársele el interés I ganado.

M= C+I

Pero I=Cit

Cuando t=1, I=Ci

Por lo que M= C+Ci que factorizado da

M=C(1+i)como puede verse, el monto de un capital al final de un periodo se obtiene multiplicado por el factor (1+i), de esta manera, al final del segundo periodo se tiene que:

M = C (1+i) (1+i)

Capital al iniciar el 2° periodo

M = C (1+i)²

Al final del tercer periodo se tiene que

M = C (1+i)² (1+i)

Y así sucesivamente. Esta sucesión de montos forma una progresión geométrica cuya n-eximo término es igual a:

M= C (1+i) ⁿ

Esta ecuación se conoce como formula del monto a interés compuesto.

EJEMPLO

Se depositan $ 50,000.00 en un banco a una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente. ¿Cual será el monto acumulado en 2 años?

M = C (1+i) ⁿ

Se destaca nuevamente que la definición de periodos debe ser misma para i y para n

Así, para calcular la tasa de interés mensual, se divide la tasa entre la frecuencia de conversión:

i = i = = 0.015 = 1.5 %

Para determinar n se multiplica el lapso en años por la frecuencia de conversión:

n = 2(12)

n = 24

Así, M = 50,000 (1+0.015)

En este momento surge una interesante pregunta:

¿Cómo evaluar (1+0.015) ? Existen 4 alternativas.

Utilizar papel y lápiz y realizar la operación 24 veces resulta lento y poco practico.

Resolver la ecuación utilizando logaritmos.

Utilizar las tablas que se encuentran al final de los libro; en ellas se encuentra el factor del monto a interés compuesto (1+i) ⁿ, para una i y una n determinadas. Esta operación es sencilla. Pero en una época de tasas variables como la que se vive, puede darse el caso de que dichas tablas no incluyan la que interesa.

Emplear una calculadora electrónica. Este es el medio mas practico y preciso y, como se menciono anteriormente, será el que se utilice en los cálculos de este libro.

Factor de monto a interés compuesto = (1+0.015) = 1.429503

M = 50,000 (1.429503)

M = 71475.14

En 2 años, la inversión de $50,000 se transformara en un monto de $71475.14 por la generación de un interés compuesto de $21,475.14

EJERCICIO

Se depositan en una casa de ahorro $100,000.00 a una tasa de interés de 4.8 % capitalizable mensual.

¿Cuál será el monto acumulado a interés compuesto en un periodo de nueve meses?

Suponiendo que la caja de ahorro preste ese mismo dinero con una tasa de interés de 30% anual capitalizable mensualmente, ¿Cuál seria el pago que se debe efectuar al cabo de los mismos 9 meses?

SOLUCION

Deposito.

Se aplica la formula del monto a interés compuesto. M = C (1+i)

Se debe determinar la tasa de interés mensual dividiendo la tasa anual entre la frecuencia de conversión.

i =

i = _0.048_ = 0.004

Puesto que el tiempo de inversión esta ya expresado en meses. Se tiene todos los elementos necesarios para plantear y resolver el ejemplo:

C = 1, 000,000

i = 0.004

t = 9

Así, se sustituyen los valores en la formula y se tienen:

M = C (1+i) ⁿ

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