Modelo De Regresión Simple

El Modelo de Regresión Lineal Simple

Se denominan modelos de regresión a los modelos estadísticos que explican la dependencia de una variable dependiente “Y” respecto de una o varias variables cuantitativas “X”.

Comenzaremos el estudio de una única ecuación con solo dos variables y con una relación lineal.

Se trata de estudiar una ecuación o un modelo del siguiente tipo:

Nuestra labor consiste en estimar los parámetros beta 1 y beta 2 de la ecuación anterior a partir de los datos muestrales de los que disponemos. Para ello utilizaremos el método de los mínimos cuadrados ordinarios, pero antes de ver en que consiste este método debemos hacer ciertas hipótesis sobre el comportamiento de las variables que integran el modelo.

A la variable Ut, la llamamos término de perturbación o error, y es una variable que recoge todos aquellos factores que pueden influir a la hora de explicar el comportamiento de la variable Y y que sin embargo no están reflejados en la variable explicativa X. Estos factores deben ser poco importantes, es decir, no puede existir ninguna variable explicativa relevante omitida en el modelo de regresión. De ser así estaríamos incurriendo en lo que se conoce como un error de especificación del modelo.

El término de perturbación también recoge los posibles errores de medida de la variable dependiente Y.

Vemos por tanto que lo que nos interesa es que este término de perturbación no ejerza ninguna influencia determinante en la explicación del comportamiento de la variable dependiente. Sobre el término de error vamos a hacer las siguientes hipótesis de comportamiento:

• La esperanza matemática de Ut es cero: E (Ut)=0

Traducido en palabras normales esto es lo mismo que decir que en su comportamiento no existe un sesgo sistemático en ninguna dirección determinada. Por ejemplo, si estamos realizando un experimento en el cual tenemos que medir la longitud de un determinado objeto, a veces al medir dicha longitud cometeremos un error de medida por exceso y otras por defecto, pero en promedio los errores estarán compensados.

• La covarianza entre Ui y Uj es nula para i distinto de j: E (Ui*Uj)=0

Significa que el error cometido en un momento determinado no tiene que estar relacionado con el error cometido en otro momento del tiempo, o dicho de otro modo, los errores no ejercen influencia unos sobre otros.

• La varianza del término de perturbación es constante.

Como dijimos antes en cada medida se produce un error, lo que significa la hipótesis anterior es que los errores que cometamos en momentos diferentes sean similares. Por ejemplo si a medida que pasa el tiempo una persona se fatiga y los errores de medición son cada vez mayores entonces estaríamos incumpliendo la hipótesis de varianza constante.

¿En que consiste el método de los mínimos cuadrados ordinarios?

Se trata de encontrar una método para hallar una recta que se ajuste de una manera adecuada a la nube de puntos definida por todos los pares de valores muestrales (Xi,Yi).

Los residuos los definimos como la distancia que hay entre el valor observado Yi y el correspondiente valor estimado, que seria la imagen en el eje de abscisas del valor Xi. Por tanto:

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