Analisis E Respuesta Transitoria Y Estacionaria

LABORATORIO 2 DE CONTROL AUTOMÁTICO

MODELADO DE SISTEMAS DINÁMICOS

Presentado por:

ALBERTO HERNANDEZ

JOHN DE LA OSSA

JUAN MANUEL VARONA

Curso:

CONTROL AUTOMÁTICO

IEL – 4045 – 01

Presentado a:

CHRISTIAN GIOVANNY QUINTERO MONROY

JAMER RENE JIMENEZ MARES

UNIVERSIDAD DEL NORTE

DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

BARRANQUILLA

2012

ABSTRACT

In this paper is present a complete description of transient response for first and second order control systems, this include issues like transient response specification, transient response for various inputs like unit step, unit ramp, unit impulse and unit parable, also this treat steady-state error and alternative methods to optimize the results, the methodology this follow is the theoretical description accompanied by the application of this in MATLAB, with the objective to provide the best possible compression of the issues.

It is exposed with the study of miller integrator the study of system of first order that we talk before, as well it is developed a matlab application with the main objective to study how we can study equation of major order, just knowing it´s approximately behave in a second or first order.

Index Terms—transient response, unit step, unit ramp, unit impulse, unit parable, steady-state error.

INTRODUCCION

La respuesta transitoria y estacionaria de un sistema de control, son temas de mucha importancia para analizar la estabilidad de este y la aplicación para el cual este diseñado, la respuesta transitoria hace referencia a la salida que exhibe un sistema de control en un tiempo en el cual la señal pasa de un estado inicial a un estado final bien definido.

La respuesta transitoria de un sistema de control depende tanto de la señal de entrada al sistema de control como del orden de este, debido a esto se hace necesario del tener en estos conceptos claros para establecer conclusiones acerca del comportamiento del sistema.

El análisis de la respuesta transitoria para los sistemas de primer orden se limita a conocer el factor derivativo del denominador de la función de transferencia para de esta forma determinar el error de estado estacionario del sistema en términos del tiempo, esto siempre y cuando el numerador de la función de transferencia sea uno.

Para los sistemas de segundo orden la respuesta transitoria depende las especificaciones de la respuesta transitoria de este sistema como el factor de amortiguamiento relativo ζ, la frecuencia natural no amortiguada ω_n, frecuencia natural amortiguada, tiempo de subida, tiempo pico, sobre elongación máxima y el tiempo de asentamiento con criterio de 2% o 5%.

De acuerdo a estas especificaciones los sistemas de segundo orden presentan distintas respuestas transitorias definidas como respuesta oscilatoria, sub amortiguada, no amortiguada y sobre amortiguada, las cuales definen la magnitud de la sobre elongación del sistema con respecto a un set point o punto de referencia.

La respuesta en estado estacionario de los sistemas de segundo orden es determinada mediante el tipo de sistema hallando sus contantes de error de posición, velocidad o aceleración ó de forma algebraica mediante el teorema del valor final y esta depende tanto de la señal de entrada al sistema como del propio sistema, de esta forma se establece la precisión del sistema para seguir un punto de referencia dado.

INTEGRADOR DE MILLER

PROCEDIMIENTO

Función de Transferencia.

Para el cálculo de la función de transferencia se tiene en cuenta que y=1/(z ) , de acuerdo a la figura 2.

Figura 2. Análisis Integrador de Miller.

Sabiendo que:

Y_1=1/( R_1 ) , Y_2=1/( R_2 ) , Y_3=1/( R_3 ) , Y_4=1/( R_4 ) , Y_c=s.C

En el nodo 1, realizando LCK, obtenemos que:

(V_i-V_1 ) Y_1=(V_1-V_0 ) Y_2+(V_1-0) Y_c (1)

En el nodo 2, realizando LCK, obtenemos que:

(0-V_2 ) Y_3+(V_0-V_2 ) Y_4=0 (2)

-V_2 Y_3+V_0 Y_4-V_2 Y_4=0 (3)

De (3) despejando V_2 en función de V_0 se obtiene que:

V_2=(V_0 Y_4)/(Y_3+Y_4 ) (4)

Teniendo en cuenta que en los amplificadores operacionales V_2=V_1 , entonces remplazando (4) en (1)

V_i Y_1-((V_0 Y_4)/(Y_3+Y_4 )) Y_1=((V_0 Y_4)/(Y_3+Y_4 )) Y_2-V_0 Y_2+((V_0 Y_4)/(Y_3+Y_4 ))Y_c

V_i 〖[Y〗_1]=V_0 [((Y_1 Y_4)/(Y_3+Y_4 ))+((Y_2 Y_4)/(Y_3+Y_4 ))-Y_2+((Y_c Y_4)/(Y_3+Y_4 ))]

Simplificando y despejando V_0⁄V_i , se obtiene que:

V_0/V_i =(Y_1 (Y_3+Y_4))/(Y_1 Y_4+Y_c Y_4-Y_2 Y_3 )

Remplazando las admitancias por los valores reales del circuito y simplificando, se obtiene la función de transferencia del integrador de Miller.

V_0/V_i =(R_2 (R_3+R_4))/(〖sCR〗_1 R_2 R_3+R_2 R_3-R_1 R_4 )

Diseño de un amplificador de Miller con una constante de tiempo de 1s.

Suponiendo que R_3=R_(4 )= R, remplazando en la función de transferencia calculada en el ítem anterior se obtiene que

V_0/V_i =(R_2 (2R))/R[〖sCR_1 R〗_2+R_2-R_1 ] (5)

Siendo R_1=800Ω y R_2=1kΩ , remplazando estos valores en (5) que:

V_0/V_i =2kΩ/(s(C800kΩ)+200Ω)

Normalizando la función de transferencia:

V_0/V_i =2kΩ/(s(C800kΩ)+200Ω)

Y conociendo que la función de transferencia en lazo cerrada de una función de primer orden es:

(C(s))/(R(s))=1/(Ts+1)

Igualando ambas funciones y siendo la constante de tiempo igual a 1s.

2kΩ/(s(C 800kΩ/200Ω)+1)=1/(s+1)

C 800kΩ/200Ω=1

C=2,5〖x10〗^(-4)

Con este capacitor se garantiza que la constante de tiempo sea 1s.

Con este valor normalizando la función de transferencia se obtiene:

V_0/V_i =10/(s+1)

Generación de la respuesta a escalón, rampa, impulso y parábola usando el software MATLAB.

Respuesta al impulso.

Grafica 1. Respuesta ante un impulso.

Realizando matemáticamente el cálculo se conoce que una función de primer orden ante una entrada impulso tiene un error 0, esto se observa en la grafica donde en ningún momento la función presenta desviaciones a la curva original, y se comprueba que en el diseño la constante de tiempo es 1 y por lo tanto si el tiempo de establecimiento es de 4T, se observa que en 4s la curva se comienza a estabilizarse.

Respuesta al escalón.

En la Grafica 2, se observa la respuesta ante una entrada escalón. Para un sistema de primer orden el error en estado estacionario ante un escalón da un error finito y en la grafica se observa eso, como la ganancia en este caso es de 10 la señal de salida comienza a estabilizarse alrededor de ese valor, mientras que si la ganancia fuera 1, la señal se hubiese estabilizado alrededor de ese número, por lo tanto a medida que se aumenta el valor de la ganancia el error con respecto a la señal de entrada se incrementa. Al igual que en la grafica 1, el tiempo de asentamiento fue alrededor de 4s.

Grafica 2. Respuesta ante una entrada escalón.

Respuesta a la rampa.

Grafica 3. Respuesta ante una entrada rampa.

En este caso se observa la respuesta ante una entrada rampa, pero una función de primer orden es incapaz de seguir a una rampa ya que el error da ∞ y esto se observa en la grafica donde la señal de salida se va al infinito, el error diverge.

Respuesta a la parábola.

Grafica 4. Respuesta ante una parábola.

Así como ocurrió con una entrada rampa, pasa lo mismo con una entra parábola. En la grafica se observa que la salida comienza a divergir, la señal se va al infinito, y si se analiza matemáticamente se obtiene un error ∞ , esto significa que una función de primer orden es incapaz de seguir a una parábola.

CONTROL DEL NIVEL DE AZÚCAR EN LA SANGRE

APLICACIÓN EN MATLAB: UTILIZACIÓN Y ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA

Como bien es ya sabido el análisis de los sistemas de control se hace más complejo a medida que suben de orden, es por eso que se hace necesario la aplicación de modelos matemáticos que entreguen una aproximación de la respuesta en el tiempo de un sistema de orden superior a un sistema de primer orden más tiempo muerto, segundo orden sobre amortiguado más tiempo muerto o segundo orden sub amortiguado más tiempo muerto.

El método seleccionado para realizar la reducción de orden es el método de dos puntos de Ho. A continuación se hace una breve descripción del mismo y luego se procede al cálculo de los parámetros necesarios:

Figura 15. Identificación de métodos de dos puntos

Este método de dos puntos está basado en un ajuste de mínimos cuadrados a partir de los tiempos requeridos para alcanzar el 35% (t35) y el 85% (t85) de u y. Obteniendo entonces un

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