Calculo Diferencial

5.1 recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión.

Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a en es la recta que pasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de .

La tangente es la posición límite de la recta secante ( ) (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto ( se desplaza sucesivamente por

Si representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):

recta normal a una curva en un punto:

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

5.2 teorema de valor medio (teorema de rolle o teorema de lagrange):

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), también llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo. El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formuló Lagrange.

El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.

Demostración

El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:

Donde los pares de puntos y son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:

y así

Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado a, b.

5.3 funcion creciente y decreciente:

Función estrictamente creciente en un intervalo

Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:

Una función es estrictamente creciente en el punto de abcisa si existe algun número positivo tal que es estrictamente creciente en el intervalo

De esta esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente creciente en el punto de abcisa , entonces .

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