Conceptos generales sobre conjuntos

Conceptos generales sobre conjuntos

Los siguientes conceptos, servirán como guía para el alumno, pero deberá realizar una investigación en línea para ampliarlos, y lograr una mejor comprensión.

Conjunto.- Es una colección de objetos, con determinadas características en común. Como por ejemplo, en el conjunto A = {Enero, Febrero, Marzo,………Diciembre}, todos los objetos tienen la característica de ser un mes del año.

Elemento de un conjunto. Es cada uno de los objetos contenidos en un conjunto. Para decir que un elemento es o no parte de un conjunto se utiliza la siguiente simbología:

Enero A, que significa, Enero es elemento del conjunto A.

Lunes A, que significa, lunes no es elemento del conjunto A.

Conjunto determinado.- Es aquel en el que las características de sus elementos, están completamente delimitadas, y por lo tanto, conocemos, cada uno de estos elementos.

Por ejemplo:

A es el conjunto de todos los meses del año. Es un conjunto determinado, ya que conocemos todos los meses del año. A = {Enero, Febrero, Marzo,………Diciembre}

B es el conjunto de todos los hombres feos. En un conjunto que no esta bien determinado (o indeterminado), ya que, no existe un parámetro universal, para determinar si un hombre es feo, y el conjunto puede variar dependiendo de la persona que lo clasifique.

Conjunto Vacío.- Es aquel conjunto, que no contiene ningún elemento, se puede simbolizar como o {}.

Descripción de un conjunto en forma implícita.- Para definir un conjunto de forma implícita, basta con escribir en un párrafo todas las características de los elementos del conjunto, cuidando no caer en ambigüedades.

Por ejemplo, en el conjunto A, que hemos venido manejando, la forma implícita sería la siguiente:

A = {x | x es un mes del año}

Nota: Los símbolos x | x, significan: todas las x, tal que x es…. Por lo que, la forma implícita del conjunto A, se puede leer como: todas las x, tal que x, es un mes del año.

Descripción de un conjunto en forma explicita.- Para escribir un conjunto de forma explicita, es necesario comprender cada una de las características de los elementos del conjunto, una vez comprendidas, basta con escribir cada uno de los elementos.

Por ejemplo, el conjunto A = {x | x es un mes del año}, se escribiría de forma explicita como sigue:

A = {Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio, Julio, Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre, Diciembre}

Cuando se conoce claramente la estructura de los elementos, y estos siguen una secuencia, entonces, la forma explicita se puede simplificar escribiendo “….”, de la siguiente manera:

A = {Enero, Febrero, Marzo,………Diciembre}

Subconjunto de un conjunto dado.- Se dice que, un conjunto B es subconjunto de un conjunto A, si todos y cada uno de los elementos de B, son también elementos de A.

Veamos el siguiente ejemplo:

R = {x | x es un número entero positivo par} = {2, 4, 6, 8, 10…}

S = {x | x es número par, y 0 < x < 8} = {2, 4, 6}

Mediante un sencillo análisis, podemos ver que todos los elementos de S, son números enteros positivos pares, y por lo tanto, también están incluidos en el conjunto R:

2 S y 2 R

4 S y 4 R

6 S y 6 R

Como, todos los elementos de S, son también elementos de R, entonces S es un subconjunto de R, o también se puede decir, que S esta contenido en R, o que R contiene a S. Lo anterior se simboliza de la siguiente manera:

S⊆R

Veamos otro ejemplo:

R = {x | x es un número entero positivo par} = {2, 4, 6, 8, 10…}

T = {2, 3, 4}

Analizando los elementos de T con respecto a los elementos de R, podemos ver lo siguiente:

2 T y 2 R

3 T y 3 R

4 T y 4 R

Los elementos, 2 y 4, pertenecen a ambos conjuntos, pero el elemento 3 que es elemento del conjunto T, no es elemento del conjunto R ya que es un número impar. Por lo tanto, se dice que T no es subconjunto de R, y se simboliza como:

T⊈R

Nota: De acuerdo a la definición, es fácil ver que, el conjunto vacío {}, es subconjunto de cualquier conjunto, ya que por no tener elementos, cumple con la condición, de que todos sus elementos, son elementos del conjunto dado. Sea A cualquier conjunto, entonces ⊆ A.

Subconjunto propio.- B es un subconjunto propio de A, si B es subconjunto de A, pero B A, es decir, todos los elementos de B, son también elementos de A, pero no todos los elementos de A son elementos de B.

Por ejemplo, en el caso analizado anteriormente:

R = {x | x es un número entero positivo par} = {2, 4, 6, 8, 10…}

S = {x | x es número par, y 0 < x < 8} = {2, 4, 6}

Ya vimos, que todos los elementos de S, son también elementos de R, pero no todos los elementos de R, son elementos de S. Ya que R contiene a todos los números positivos pares, que sabemos son infinitos, y S solo tiene tres elementos. En este caso, se dice que S es un subconjunto propio de R, S R.

Subconjunto impropio.- Se dice que el conjunto B, es un subconjunto impropio de A, si todos los elementos de B, son elementos de A, y todos los elementos de A, son también elementos de B.

Por ejemplo:

A = {2, 4, 6}

B = {2x1, 2x2, 2x3}

Como podemos observar, si realizamos las operaciones en el conjunto B, los elementos son exactamente los mismos de A, por lo tanto, se cumple que, todos los elementos de B, son elementos de A, y todos los elementos de A, son también elementos de B. Este

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