Conjuntos

CONJUNTOS

En una Teoría Intuitiva de Conjuntos, los conceptos de “conjunto” y “pertenencia” son considerados primitivos, es decir, no se definen de un modo formal; se les acepta como existentes de manera axiomática, aún cuando son creaciones intelectuales.

Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos, dotados de una propiedad que permita decidir (sin ninguna ambigüedad posible), si un objeto cualquiera forma parte o no de la colección.

Consideremos, por ejemplo, los siguientes conjuntos:

1.- Las vocales: a, e, i, o, u. 2.- Los números enteros pares positivos: 2, 4, 6, .... 3.- Los siete enanitos de Blancanieves. 4.- Los equipos chilenos de fútbol profesional participantes en el actual campeonato nacional. 5.- Las señoritas de nuestro curso de Matemáticas.

Los objetos que forman un conjunto se llaman elementos del conjunto, y la relación entre un elemento y un conjunto es la de pertenencia. Se escribe x ∈ A y se lee ”(el objeto) x pertenece a (el conjunto) A"

Habitualmente los conjuntos se designan por una letra mayúscula y los elementos del conjunto por una letra minúscula y entre paréntesis de llave.

Los conjuntos se pueden definir por:

EXTENSIÓN cuando se describen exhaustivamente (es decir, nombrando a todos y cada uno de sus elementos, que, en tal caso, se escribirían entre llaves)

Ejemplo: A={ Pedro, Juan, Luis, Manuel}

COMPRENSIÓN: Cuando se indican las características de los elementos del conjunto o función proposicional p(x) que satisfagan todos los elementos x del conjunto definido y sólo ellos, dentro de un universo contextual ó relativo U”.

Ejemplo: B = { números pares}

C = { números enteros positivos menores de 10 }

CONJUNTO FINITO: Es aquel que consta de un número determinado de elementos, dicho de otra forma, si al efectuar el proceso de contar los elementos, este proceso puede terminar.

CONJUNTO INFINITO: Cuando el conjunto tiene un número indeterminado de elementos, infinitamente grande.

CONJUNTO VACÍO: Es aquel conjunto que no tiene ningún elemento. Se representa por el símbolo ∅.

H. Cornejo O.

SUBCONJUNTO: Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, o bien que A está incluido en B si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B.

A está incluido en B y se anota A ⊂ B.

Expresado de otra forma: A ⊂ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B }

Ejemplo: si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} entonces A ⊂ B.

Si A no es subconjunto de B se escribe A ⊄ B.

Se dice que A es SUBCONJUNTO PROPIO de B si y sólo si A es subconjunto de B pero B es distinto de A, lo que a veces se denota por A ⊂ B, sin la barrita inferior que representa la igualdad de conjuntos.

A ⊂ B y A ≠ B

En alguna bibliografía se acostumbra a designar un subconjunto propio como

A ⊂ B

Y un subconjunto como A ⊆ B

CONJUNTOS IGUALES: Dos conjunto A y B son iguales ( A = B) si

∀x ∈A → x ∈B ∧ ∀x ∈B → x ∈A

se verifica que

A ⊆ B ∧

B ⊆ A.

Para probar que dos conjuntos son iguales, será siempre necesario probar que cada uno de ellos está contenido en el otro (dos pruebas).

Este proceso se llama prueba por doble inclusión.

COMPARABILIDAD: Dos conjuntos A y B se dicen comparables si:

A ⊂ B o B ⊂ A

Esto es si uno de los conjuntos es subconjunto del otro.

En cambio dos conjuntos C y D no son comparables si

C ⊄ D y D ⊄ C

Nótese que si C y D no son comparables, entonces hay un elemento de C que no está en D y hay algún elemento de D que no está en C.

CONJUNTO DE CONJUNTOS: Hay ocasiones en que los elementos de un conjunto son a su vez también conjuntos, por ejemplo el conjunto de todos los subconjuntos de A . Para evitar decir

H. Cornejo O.

conjunto de conjuntos se suele decir familia de conjuntos o clase de conjuntos, y para evitar mayor confusión, se emplean letras de tipo inglés.

A B C D

CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel conjunto del que son subconjunto toda una familia de conjuntos. Se denota con la letra U

Si U es el conjunto Universo de A, B, C, y D, entonces ∀x ∈ A→ x ∈U, ∀y ∈ B→ y ∈U, ∀z ∈ C→ z ∈U, ∀u ∈ D→ u ∈U,

CONJUNTO POTENCIA: Conjunto potencia de S se denomina a la familia de todos los subconjuntos de S, y se denomina por 2 S. Ejemplo: Si F = { 1, 2} entonces 2 F = { {1, 2}, {1}, {2}, ∅ }

CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo: E = {1, 3, 5} y G = {2, 4, 6 } son conjuntos disjuntos.

DIAGRAMAS DE VENN EULER: Es la forma sencilla e instructiva para poder representar los conjuntos y las relaciones que se producen entre ellos. En ellos se representan habitualmente los conjuntos por un área plana, por lo general delimitada por un círculo.

A = { a, b, c, d, e}

B = { b, c, d} B ⊂ A

H. Cornejo O.

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