Conjuntos

.1 Conjuntos.

Dentro de la teoría se consideran como primitivos o términos no definidos los conjuntos y los elementos. En general, se designan los conjuntos usando letras latinas mayúsculas y los elementos con letras minúsculas.

Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.

Si un objeto x es elemento de un conjunto A, se escribe:

x  A.

que se puede leer también "x pertenece a A" o "x está en A". Si por el contrario, un objeto x no es elemento de un conjunto A, se escribe:

x  A.

Un conjunto se puede definir haciendo la presentación efectiva de cada uno de sus elementos, así el conjunto A cuyos elementos son 2, 3, 5, se escribe:

A = { 2, 3, 5}

Esto se conoce como expresión por extensión del conjunto.

Otra forma de definir un conjunto es enunciando una propiedad que permita seleccionar de un conjunto ya formado, aquellos que verifiquen dicha propiedad. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números podemos seleccionar el conjunto B de los números pares, en este caso se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe:

B = { x / x es par}

lo que se lee: "B es el conjunto de los números x tales que x es par". Esta forma de definir un conjunto de llama por comprensión.

3.1.1 Definiciones.

3.1.1.1 Igualdad de Conjuntos. El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento de A es también elemento de B y recíprocamente. Luego, podemos escribir:

(A = B)  ( x)(x  A  x  B).

3.1.1.2 Subconjuntos. Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Esta relación se denomina relación de inclusión y se denota como: A  B.

Simbólicamente esto se puede expresar así:

A  B  ( x)(x  A  x  B)

Esta relación también se puede leer: "A está contenido en B", "A es una parte de B". Para expresar que A no está contenido en B, escribimos: A  B.

Con esta definición de subconjunto se puede dar de otra manera la definición de igualdad de dos conjuntos, así:

(A = B)  (A  B)  (B  A)

Puesto que todo conjunto A es subconjuto de si mismo, se dirá que A es un subconjunto propio de B; si A es subconjuto de B y A no es igual a B. Más brevemente, A es subconjuto propio de B si A  B y A  B. Esta situación puede representarse mediante un diagrama así:

3.1.1.3 Conjunto Universal. Es el conjunto de todos los elementos en discusión. También se le llama dominio de discusión o referencial.

El conjunto universal se designa con el símbolo

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