El cálculo diferencial

Cálculo diferencial

El cálculo diferencial es una parte del análisis de expresion oral que consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objeto del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

En el estudio del cambio de una función, es decir, cuando cambian sus variables independientes es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de en cada punto . Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

ANTIDERIVADAS

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

Teorema

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como c constante real.

Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:

• Concepto.

• Propiedades.

• Reglas de integración.

• Integrales inmediatas.

• Métodos clásicos de integración:

-Integración por sustitución.

-Integración por partes.

-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.

• Uso de tablas.

• Integración de funciones trigonométricas sencillas.

• Integración de funciones racionales sencillas.

• El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

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• Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

• Pasos para integrar por cambio de variable

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• 1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

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• Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

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• 2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

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• 3º Se vuelve a la variable inical:

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• Ejemplo

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• Cambios de variables usuales

• 1.

• 2.

• 3.

• 4.

• 5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, elcambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

• 6. Si es par:

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• 7. Si no es par:

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• Ejemplos

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• El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

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• Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

• Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

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• Ejemplos

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• Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

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• Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.

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• Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.

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• En ocasiones de manera directa no se pueden realizar las integrales, en otras ocasiones parece ser que pudiéramos integrar de manera inmediata debido a que a primera inspección encontramos similitud con las formulas que tenemos en las tablas de formulas. Inclusive existen algunas de las mismas formulas que podemos deducir mediante algunas técnicas, como la que en esta ocasión nos ocupa, veamos el siguiente ejemplo: Deduce la siguiente formula:

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• Pensemos en una sustitución que podamos realizar en la integral de tal forma que nos permita una integración inmediata. Recordemos que:

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• observemos que sucede si hacemos un cambio de variable que nos conduzca a el uso de esta sustitución, concretamente, sustituyamos

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• Recordemos que a lo también queda expresado como:

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• de donde

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• donde la nueva c se ha juntado con la constante generada con el logaritmo:

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• al igual que esta integral se pueden encontrar de la misma forma algunas otras, vale la pena seguir la siguiente recomendación:

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• hemos de aclarar que esas sustituciones surgen al igual que la sustitución del ejercicio anterior, de observación y comparación de las propiedades trigonométricas:

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• Calcular la siguiente integral y comprobar

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• Solución:

• como podemos comprobar la integración no se puede realizar de manera inmediata. Antes de realizar alguna sustitución valdría la pena hacer alguna factorización en el radical

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• realizando la sustitución

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• por lo tanto:

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• como entonces:

• del triangulo rectángulo siguiente identificamos:

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• la hipotenusa es 2x y el cateto adyacente es 3 por lo tanto el cateto opuesto es igual a:

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• por lo que

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• Comprobación del resultado.

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• simplificando tenemos:

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• Se sugieren los siguientes ejercicios:

• Sustitución trigonométrica

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• A menudo es posible hallar la antiderivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la forma:

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• Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución:

Expresión en el integrando Sustitución trigonométrica

Integración mediante uso de tablas

Las “tablas de integrales” son teoremas probados que enuncias antiderivadas para muchos tipos de estructuras del integrando, normalmente están agrupadas con base a un elemento característico del integrando, por ejemplo las que contienen ex, o las que incluyen u2 – a2, etc. De tal forma que muchas de las integrales

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