La Integrales

INTEGRAL DEFINIDA.

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

Se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

• La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:

• La integral del producto de un número real por una función es igual al producto de por la integral de dicha función:

En una integral definida el límite superior de integración puede ser menor que el límite inferior de integración y

Si hacemos en la igualdad anterior se tiene que

Como el único número que coincide con su opuesto es el cero, llegamos a la conclusión de que

Para cualquier número real .

Dados tres números reales cualesquiera, se tiene que:

Si en el intervalo la función es mayor o igual que la función entonces

En particular, si , entonces

Análogamente, si , entonces

Si en el intervalo la función es mayor que la función entonces

En particular, si , entonces

Análogamente, si , entonces

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Como , se cumple que

Ejemplo 6

Como , se cumple que

Regla de Barrow:

El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un método que permita resolver las integrales definidas de un modo sencillo. Basta, para ello, con utilizar la importante consecuencia que de él se deriva y que se conoce como Regla de Barrow.

Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una función definida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier x Î (a, b), entonces

Este resultado es conocido, frecuentemente, por «segunda parte del teorema fundamental del cálculo». Es obligado hacer notar que, para resolver una integral definida de una función continua, basta con encontrar una primitiva de la función, sustituir en ella los límites de integración superior e inferior respectivamente y restar ambos valores.

Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo de integrales definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una función.

Conviene observar también que como F (b) - F(a) es un número, es decir, no depende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una primitiva de f(t), f(u) es una primitiva de f(u), etc., todas las expresiones siguientes tienen el mismo significado:

Ejercicio:

Calcular el área encerrada por la curva y = x2, el eje de abscisas y las rectas

x = 1 y x = 2.

Resolución:

...