Limites Infinitios

El símbolo se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.

Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe (que se lee: tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como (que se lee: tiende a menos infinito).

Similarmente, cuando crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe , y si decrece tomando valores negativos escribimos .

Consideramos la función definida por para . Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando cuando y cuando . Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes:

a.

En este caso, cuando , la función tiende a tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como , es decir

b.

Ahora, cuando toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir, cuando , o sea .

c.

Ahora observe que es la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que tiende a valores cercanos a cero.

Así , o sea, cuando .

d.

En forma similar a la tabla anterior se tiene que cuando es decir,

Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función en la forma siguiente.

Consideramos ahora la función definida por para , cuya representación gráfica es la siguiente:

Podemos decir que:

a. y

b. y

Ejercicio

Determine: , , , , , , utilizando para ello la función .

Definición

Se dice que crece sin límite cuando tiende a , que se denota , si para todo número real , (sin importar su magnitud), existe tal que siempre que .

Gráficamente se tiene:

Esta definición nos dice que es posible hacer tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo ), tomando suficientemente cerca de .

Ejemplo

Consideremos la representación gráfica de la función definida por:

Demostremos ahora que

Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un existe tal que .

Observe que: .

Luego, dado , escogemos de tal forma que se satisfaga que . Si tomamos, por ejemplo, cuando , es decir, cuando .

Definición

Se dice que decrece sin límite cuando tiende a , que se denota por , si para todo número real , existe una tal que

Gráficamente se tiene que:

La definición anterior afirma que es posible hacer menor que cualquier número negativo , tomando suficientemente cerca de .

Ejemplo: Consideremos la representación

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