Logica Difusa

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Algunos Modelos de

Sistemas No Lineales

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Nuestra atención estará centrada en los sistemas de tipo no lineal

que puedan ser representados por modelos que involucren el uso

de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales1.

En este capítulo precisaremos el tipo de sistemas que serán utilizados

a lo largo de esta monografía. Vamos a introducir algunos

modelos que serán empleados a lo largo del texto. A medida que

avancemos iremos encontrando diferentes modelos matemáticos,

por medio de los cuales se ha intentado representar de manera

aproximada el comportamiento de sistemas reales. Las relaciones

planteadas tienen su origen en la física, la química, la temrodiná

dinámica, el balance de masa, energía, información, procedimientos

empíricos, etc. Muchos de estos modelos se encuentran a todo

lo largo de la literatura existente de control automático.

1De allí que los métodos de análisis y diseño presentados NO se aplican a sistemas más

complejos, conocidos con el nombre de sistemas a parámetros distribuidos, descritos, por lo

general, por ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales parciales.

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4 ALGUNOS MODELOS DE SISTEMAS NO LINEALES

Ilustraremos algunos conceptos, tales como el de punto de equilibrio,

fundamentales para el estudio de los capítulos posteriores.

1.1. Introducción

Desde los inicios de la humanidad, el hombre ha tratado de entender y

aprender de su medio ambiente a través de observaciones. A partir de estas

observaciones se fue creando en su cerebro un modelo de la realidad circundante.

Los diferentes modelos que formaba le servían para actuar dentro de

su medio y para tratar de solventar sus problemas en la caceria, construcción

de vivienda, etc. Con el paso del tiempo, y en virtud de los cambios

en sus necesidades, estos modelos se fueron convirtiendo en modelos más

sofisticados desde el punto de vista abstracto. Desde el punto de vista ingenieril,

los modelos linguísticos y gráficos (diagramas, dibujos, etc.), los

cuales transmitía a sus semejantes, le sirvieron para entender mejor y en

una forma más sistemática su entorno, pero a la vez le permitieron afrontar

problemas cada vez más complicados, como por ejemplo los sistemas de regulación

de la posición y de la velocidad en los molinos de viento, y los dispositivos

más simples, pero no menos ingeniosos, usados para controlar el

nivel del líquido en los relojes de agua (clepsidra). Estos modelos, linguísticos

y gráficos, constituyeron el origen de lo que posteriormente serían los

llamados modelos matemáticos.

Newton tuvo mucha razón cuando dijo que el lenguaje de la naturaleza

es la matemática. La realidad física que nos rodea la hemos tratado de interpretar

de diferentes maneras. Los modelos matemáticos constituyen una

forma idónea de resolver muchos de los problemas que se nos presentan al

enfrentarnos a esa realidad.

Un modelo matemático de un sistema real constituye una representación

abstracta realizada en términos de lenguaje y simbología matemática

(ecuaciones algebraicas, ecuaciones diferenciales, en diferencias, etc.) la

cual resalta propiedades importantes del sistema en estudio. En nuestro caso,

estaremos interesados en que el modelo presente las propiedades “más

importantesrelativas al comportamiento dinámico (en el tiempo) del sistema

a controlar, tomando en cuenta los requerimientos y la disponibilidad

de recursos respecto a beneficios, costos, precisión y exactitud en representar

el comportamiento del sistema, seguridad o riesgos, etc. Por ejemplo,

un modelo del comportamiento de varias sustancias en un reactor químico

podría ser representado mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales

parciales que reflejan un comportamiento muy preciso y una inversión muy

costosa, contrastando con muchas situaciones en las cuales es suficiente

representar el sistema dado en la forma de ecuaciones algebraicas de las

relaciones estáticas entre las sustancias, el cual resulta un modelo con un

costo muy inferior al anterior. En el caso de un avión esto no puede ser

1.2 CLASE DE SISTEMAS BAJO ESTUDIO 5

así, el modelo a emplear tiene que ser lo suficientemente sofisticado como

para tomar en cuenta todas las variables necesarias: vientos, presión,

condiciones climatológicas, etc. debido al elevado riesgo de vidas humanas

involucradas.

Un modelo matemático, obtenido por medio de leyes y relaciones de

tipo físico, químico o de alguna otra índole, servirá para captar algunas

de las propiedades importantes del sistema bajo estudio, dependiendo de

las necesidades. Además de brindar la posibilidad de estudiar un sistema

cualquiera, los modelos nos proporcionan las bases necesarias para tener

una idea de cómo influenciar (regular o controlar) el comportamiento del

sistema real. En último término, éste es el interés práctico del modelo en sí,

brindar información relevante del sistema susceptible de ser controlado.

Los sistemas de control de maquinaria, motores, aviones, reactores químicos,

etc., están formados por procesos y plantas, habitualmente representados

a través de modelos matemáticos que expresan las diferentes propiedades

o comportamientos que satisfacen tales sistemas. Los sistemas

dinámicos que estudiaremos describen procesos reales de naturaleza no lineal.

La herramienta matemática para su descripción está constituida por

sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales a parámetros

agrupados.

1.2. Clase de sistemas bajo estudio

Considérese el siguiente conjunto de ecuaciones que representan un sistema

no lineal con una sola entrada y una salida:

x˙ (t) = f(x(t), u(t)), x(t0) = x0

y(t) = h(x(t))

(1.1)

donde x(t) es una función vectorial del tiempo la cual toma valores en el

espacio de n-dimensiones y representa el estado del sistema, x(t) 2 Rn, u(t) Representación

en variables de

estado

es una función escalar del tiempo y toma valores en la recta real, u(t) 2 R.

La variable y(t) es también una función escalar del tiempo y representa la

salida del sistema, y(t) 2 R. Las funciones f(·) y h(·) son funciones continuas,

diferenciables al menos una vez con respecto a cada uno de sus

argumentos, definidas de tal forma que f : Rn × R ! Rn y h : Rn ! R.

Representaremos este sistema no lineal mediante el diagrama de bloques

mostrado en la Figura 1.1. Recordemos que x˙ = dx/dt representa la tasa de

variación de la variable x respecto al tiempo.

1.3. Puntos de equilibrio

Como veremos con más detalle posteriormente, nuestro objetivo es diseñar

leyes o estrategias de control para la regulación del comportamiento

en lazo cerrado del sistema estudiado. En forma precisa,

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