Logica Difusa

LOGICA DIFUSA EN LA VIDA DIARIA.

Empecemos por plantearnos las siguientes preguntas: ¿qué significa la teoría difusa?, ¿Porqué utilizar el término difuso? :

El término fuzziness que en español entenderemos como difusificar, se encuentra en nuestras decisiones, en nuestro pensamiento, esto es, en la forma de cómo procesamos la información, pero particularmente en nuestro lenguaje, ya que en muchas ocasiones no expresamos con claridad lo que queremos comunicar.

Frases como: "Nos vemos luego", "un poco más", "no me siento muy bien", son expresiones difusas, decimos que son difusas porque la difusificación surge de las diferentes interpretaciones que damos a "luego", "un poco más", "muy bien". Por ejemplo "luego", para el análisis de fenómenos rápidos en ingeniería puede ser del orden de nanosegundos, pero para paleontólogos del orden de miles de años. Como se puede observar la magnitud del orden es relativa, por lo tanto si se emplea una unidad difusa (fuzzy), hay que tener bien claro el contexto donde se esta utilizando para así encontrar un punto de referencia y una unidad de medida.

En ocasiones, enunciados difusos indican unidades relativas y subunidades más no unidades absolutas. Consideremos el siguiente ejemplo:

"El corredor A es rápido."

"El corredor B es más rápido que el corredor A." y

"El corredor C es más lento comparado con B."

Con base a lo anterior podemos hacer dos observaciones: la oración difusa puede establecer:

B es más rápido que A y C es lento comparado con B.

de la misma manera podemos caer en una ambigüedad de modo que no nos quede claro si A es más rápido que C o si C es más rápido que A; por tanto no se tiene una medida de la velocidad de A, B ó C.

Figura 1. Ejemplo de enunciados difusos.

Otro ejemplo donde no se hace referencia a medida alguna sería el enunciado "Francisco es muy alto".

LOGICA CLASICA VS. LOGICA DIFUSA.

Probablemente estés familiarizado con algún tipo de lógica clásica (binaria, trivalente, etc.), las cuales tienen bien definidos sus valores de umbral. Por ejemplo en la lógica binaria o booleana, existen dos valores de verdad (o de umbral): verdadero ó falso, 1 ó 0, sí ó no.

Figura 2. Valores de la Lógica binaria

La lógica trivalente es una lógica de tres respuestas definitivas:

Figura 3. Valores de la Lógica Trivalente

A diferencia de la lógica clásica, la lógica difusa no tiene bien definidos sus umbrales de decisión. Por ejemplo, si tomamos la lógica trivalente y la difusificamos (cambiamos los niveles de decisión), entonces podemos expresar los valores de umbral como un rango de valores, esto es, 0, .5, 1 serán reemplazados por intervalos de: "0 a .4", "0.2 a 0.8", "0.6 a 1", respectivamente.

Recordemos que "lógica es la ciencia que estudia las leyes, los modos y las formas del razonamiento". De esta forma la "lógica difusa estudia las leyes, los modos y las formas del razonamiento aproximado".

Lógica difusa proporciona un medio para enfrentar situaciones del mundo real, situaciones complejas y dinámicas, que son más fácilmente caracterizadas por palabras que por matemáticas.

Por ejemplo, la estatura:

SISTEMAS DIFUSOS.

La vida real está llena de situaciones que requieren del razonamiento aproximado para manipular información cualitativa más que cuantitativa.

Un sistema difuso puede resolver problemas tal como lo haría un experto humano, problemas tales como controlar la presión y temperatura de una caldera en la industria, procesar y reconocer imágenes o controlar una lavadora de ropa son situaciones que tienen en común el ser complejas y dinámicas y también que son más fácilmente caracterizadas por palabras que por expresiones matemáticas.

Mientras que los sistemas de lógica clásica no pueden actuar en problemas de este tipo:

• No hay ningún sistema para representar proposiciones en lenguaje natural cuando el significado es impreciso.

• Sí el significado puede representarse, no hay un mecanismo para poder evaluarlo y obtener una respuesta.

Hasta este momento ya tenemos una idea de lo que es la lógica difusa, pero ¿de donde surge el término fuzzy?, ¿Quién lo introdujo?, veamos:

En la década de los años veinte del siglo pasado, J. Lukasiewicz desarrolló los principios de la lógica multivaluada, cuyos enunciados pueden tener valores de verdad comprendidos entre el 0 (falso) y el 1 (cierto) de la lógica binaria clásica. En 1965 Lofti A. Zadeh, aplicó la lógica multivaluada a la teoría de conjuntos, estableciendo la posibilidad de que los elementos pudieran tener diferentes grados de pertenencia a un conjunto. Zadeh introdujo el término fuzzy (difuso) y desarrollo un álgebra completa para los conjuntos difusos.

Desde sus inicios la teoría de conjuntos difusos causó controversisas y debates, por lo que sus primeras aplicaciones prácticas surgieron hasta mediados de los años setenta.

APLICACIONES DE LA LOGICA DIFUSA.

Gracias a que la lógica difusa se enfrenta con éxito a situaciones del mundo real, ha encontrado aplicaciones en una gran variedad de campos, de las cuales las más trascendentales se han dado en el área de control con el diseño e implementación de controladores difusos (Fuzzy Logic Control), iniciado por los trabajos de Mamdami y Assilian en los años setenta.

Ejemplos de sistemas de control y productos comerciales cuyo funcionamiento se basa en un razonamiento aproximado (difuso), son:

• Control de un horno de cemento.

• Estabilización de imágenes en cámaras de video.

• Lavatrastes y lavadoras de ropa.

• Conducción automática de trenes metropolitanos.

• Control de aire acondicionado.

Pero ¿Cuándo utilizar lógica difusa?. Lógica difusa tiene la habilidad de proporcionar un control inteligente en aplicaciones difíciles, especialmente aquellas que requieren de la optimización de muchas variables o el control de sistemas no lineales difíciles de modelar.

CONCEPTOS BASICOS.

Comenzaremos a hablar de conjuntos tratando de ponernos de acuerdo acerca de lo que vamos a entender por conjunto. Esto no es nada simple ya que conjunto es un concepto bastante primitivo, análogo al concepto de punto o de recta. De ahora en adelante, para nosotros un conjunto será algo que puede o no tener elementos, pero con la propiedad de que se puede decir si un objeto dado cualquiera es o no elemento del conjunto en cuestión.

A los objetos (si los hay) que forman un conjunto, les llamamos "elementos" de dicho conjunto. En la teoría de conjuntos que estamos recordando, trabajaremos a veces con varios conjuntos cuyos elementos son todos del mismo tipo, es decir, pertenecen todos a un mismo conglomerado de cosas al que podremos llamar conjunto universal.

Ahora bien, Sí A es un conjunto la proposición "x es un elemento de A" se denotará por x A. La negación de esta proposición es decir "x no es un elemento de A" se denotará por x A.

Por ejemplo, sí A es el conjunto de los primeros tres números naturales pares, entonces 2 A, 4 A, 6 A, 24 A, 9 A, son proposiciones verdaderas. Note que "pertenencia" es una relación que vincula cada elemento con un conjunto, no es una relación entre elementos de un conjunto.

Sí enumeramos todos los elementos de un conjunto, decimos que los hemos representado por extensión mientras que si enunciamos una propiedad definitoria de los elementos del conjunto, se dice que está representado por comprensión.

Por ejemplo sí B es el conjunto cuyos elementos son: Oaxaca, Tlaxcala, Morelos, Hidalgo, Estado de México, Guerrero y Veracruz, se puede escribir:

B={Oaxaca, Tlaxcala, Morelos, Hidalgo, Estado de México, Guerrero, Veracruz}

ó

B={x | x es un estado que colinda con el estado de Puebla}

Función de membresía.

Como ya se mencionó la pertenencia o membresía es una relación que vincula a cada elemento con un conjunto. En otra palabras, en un conjunto bien definido (lógica clásica), la pertenencia o no pertenencia de un elemento x a un conjunto A se describe mediante la función característica  A (x) donde:

Dicha función es llamada función de membresía ó función característica de A y esta definida para todos los elementos del universo. La función de membresía hace un mapeo de todo el universo U a su conjunto de evaluación de dos elementos {0,1}, esto se escribe:

 A (x) : U  0, 1

Con una identificación de {0,1} y {verdadero, falso}, esta función característica puede jugar un papel importante en la asignación de valores de verdad a proposiciones referentes al conjunto A.

Operaciones con conjuntos.

Podemos construir conjuntos apartir de dos ó más conjuntos dados, aplicando para ello las operaciones básicas que ya conocemos: complemento, unión e intersección de conjuntos. Es común usar diagramas de Venn para representar al conjunto universal U y a

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