Pau programacion lineal

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PAU: PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Una confitería es famosa por su dos especialidades de tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima. la tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos y tiene un precio de venta de 8 €. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 10 €. En el almacén les quedaban 10 kilos de azúcar y 120 huevos.

1. ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer?. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.
2. ¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas?

Solución:

a) Sean x = "número de tartas tipo Imperial" e y = "número de tartas tipo Lima"

Se hace la tabla para establecer las restricciones:

⎧x ≥ 0 , y ≥ 0        ⎧x ≥ 0 , y ≥ 0

⎪        ⎪

⎨0,5 x + y ≤ 10

⎪ 8x + 8 y ≤ 120

        ⎨x +2y ≤ 20

⎪x +y ≤ 15

⎩        ⎩

La función objetivo, que representa los ingresos por ventas, y que considerando las restricciones anteriores hay que maximizar: z = f(x, y) = 8x + 10 y

Se representan el conjunto de restricciones y la recta 4x + 5y = 0, que da la dirección de las rectas z = f(x,y) = 8x + 10 y

⎧ x + y = 15[pic 2]

b) ⎩x + 2y = 20

 x = 10        y = 5

z = f(x,y) = 8x + 10 y

(0,10):        f(0,10) = 10. 10 = 100[pic 3]

(15,0):        f(10,5) = 8. 15 = 120

El mayor ingreso se obtiene con 10 tartas Imperiales y 5 tartas de Lima.

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1. Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 500 €. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 0,5 € el kg y las de tipo B a 0,8 € el kg.

Sabemos que solo dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 kg de naranjas como máximo y que piensa vender el kilo de naranajas de tipo A a 0,58 €

y el de tipo B a 0,9 €. ¿Cuántos kilogramos de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener beneficio máximo?

Solución:

Sean x = "kg de naranjas de tipo A" e y = "kg de naranjas de tipo B"[pic 5]

Las restricciones del problema son:

⎧x ≥ 0 , y ≥ 0        ⎧x ≥ 0 , y ≥ 0

⎪        ⎪

⎨x + y ≤ 700        

⎪0,5x + 0,8 y ≤ 500

⎨x + y ≤ 700

⎪5x + 8 y ≤ 5000

⎩        ⎩

La función que da el beneficio, sujeta a las restricciones anteriores, es: z = f(x, y) = (0,58 − 0,5)x + (0,9 − 0,8)y = 0,08x + 0,1y

Se representa la recta 0,08x + 0,1y = 0

 8x + 10 y = 0 

4 x + 5y = 0

El máximo se obtiene en el punto de intersección de las rectas:

⎧ x + y = 700        [pic 6]

⎩5x + 8 y = 5000

x = 200        y = 500

Se deben comprar 200 kg de tipo A y 500 kg de tipo B

1. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. La unidad del tipo A se hace con 1 g de oro y 1,5 g de plata y se vende a 25 €. La de tipo B se vende a 30 € y lleva 1,5 g de oro y 1 g de plata. Si solo dispone de 750 g de cada metal, ¿cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

Solución:

Sean x = "número unidades de tipo A" e y = "número unidades de tipo B"

Las restricciones son:[pic 7]

⎧ x ≥ 0 , y ≥ 0

⎨x + 1,5y ≤ 750[pic 8]

⎪1,5x +y ≤ 750[pic 9]

La función a maximizar: z = f(x,y) = 25x + 30 y

El máximo se obtiene en el punto de intersección de las rectas:

⎧1,5 x + y = 750        [pic 10]

⎩x + 1,5 y = 750

x = 300        y = 300

Se deben fabricar 300 joyas de cada uno de los dos tipos.

1. Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de aves una dieta mínima que consiste en 3 unidades de hierro y 4 unidades de vitaminas diarias. El granjero sabe que cada kilo de maíz proporciona 2,5 unidades de hierro y 1 de vitaminas y que cada kilo de pienso compuesto proporciona 1 kilo de hierro y 2 de vitaminas. Sabiendo que el kilo de maíz vale 0,3 € y el de pienso compuesto 0,52 €, se pide:

1. ¿Cuál es la composición de la dieta diaria que minimiza los costes del granjero? Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta.
2. ¿Cambiaría la solución del problema si por escasez en el mercado el granjero no pudiera disponer de más de 1 kilo diario de pienso compuesto?. Razona la respuesta.

Solución:

1. Sean x = "número kg de maíz" e y = "número kg de pienso"

Las restricciones son:[pic 11]

⎧x ≥ 0 , y ≥ 0

⎨2,5 x + y ≥ 3[pic 12]

⎪ x + 2y ≥ 4[pic 13]

La función coste para minimizar: z = f(x,y) = 0,3x + 0,52y

El conjunto de restricciones y la recta 0,3x + 0,52y = 0 da la dirección de las rectas z = 0,3x + 0,52y

 15x + 26 y = 0

El mínimo se obtiene en el punto de intersección de las rectas:

⎧2,5 x + y = 3

⎨        

x = 1

y = 7

⎩x + 2y = 4        2        4

En consecuencia, para que el coste sea mínimo se deben de utilizar

1. kg de maíz y 7 kg de pienso compuesto

2        4

1. Sí se añade la restricción y ≤ 1 a las anteriores, la región sería:[pic 14]

Las restricciones son:

⎧x ≥ 0 , 0 ≤ y ≤ 1[pic 15]

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