Sistemas Dinamicos Tracol 1

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD.

El control automático de la velocidad crucero es un excelente ejemplo de un sistema de control retroalimentado que s e encuentra en muchos de los vehículos modernos. El propósito del sistema de control de la velocidad crucero es mantener una velocidad constante del vehículo a pesar de las perturbaciones externas, tales como cambios en el viento o en el tipo de carretera. Esto se logra mediante la medición de la velocidad del vehículo, comparándola con la velocidad deseada o de referencia, y ajustando automáticamente el acelerador de acuerdo con una ley de control:

Considere aquí un modelo simple de la dinámica del vehículo, que se muestra en el diagrama de cuerpo libre (FBD) anterior. El vehículo, de masa m, se mueve por una fuerza de control u. La fuerza u re presenta la fuerza generada en la interface carretera/llanta. Para este modelo simplificado suponga que puede controlar esta fuerza directamente y desprecie la dinámica del motor, neumáticos, etc., que intervienen en la generación de la fuerza. Las fuerzas resistivas bv, debido a la resistencia a la rodadura y a la resistencia al viento, se suponen que varían linealmente con la velocidad del vehículo v, y actúan en la dirección opuesta al movimiento del vehículo. De acuerdo con lo anterior y teniendo e n cuenta que la entrada al sistema es la fuerza u, y la salida es la velocidad v, encuentre (a) la representación del sistema en espacio de estados y (b), La representación del sistema en función de transferencia.

Representación del sistema en espacio de estados.

Para poder determinar la representación del sistema en espacio de estados, tenemos que la representación estándar está dada por :

x ̇=Ax+Bu

y=Cx+Du

ma=u(t)-bv(t)

m (dv(t))/dt+bv(t)=u(t)

Dividimos sobre m los términos de la ecuación:

1/m (m dv(t)/dt+bv(t)=1/m u(t)

dv(t)/dt+bv(t)/m=1/m u(t)

Definimos variable de estado:

x=v

La entrada del sistema, es la fuerza u. La salida del sistema es la velocidad del automóvil, entonces se asume que la salida

y=v

Reemplazando en la ecuación diferencial, la ecuación queda:

x^'+b/m x=1/m u

Despejamos término de la derivada:

x^'= -b/m x+1/m u

y=x

Para definir cada uno de los términos teniendo en cuenta la representación estándar tenemos que:

x^'=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)

Para A:

-b/m

Para B:

1/m

Para C:

1

Para D:

0

Luego, las ecuaciones en este caso, corresponderían a:

dv(t)/dt=-b/m v(t)+1/m u(t)

y(t)=v(t)+0 u(t)

Función de transferencia.

Podemos hallar la función de transferencia del sistema partiendo de la representación en espacio de estados:

Y(s)/U(s) =C(sI-A)^(-1) B+D

Realizando la sustitución de términos:

Y(s)/U(s) =(1) (s+(b/m))^(-1) (1/m)

Y(s)/U(s) =1/(ms+b)

2. Un actuador común en los sistemas de control es el motor DC. Este provee directamente movimiento rotatorio y, junto con las ruedas o tambores y cables, puede proporcionar un movimiento de traslación. El circuito eléctrico equivalente de la armadura y el diagrama de cuerpo libre del rotor se muestra en la siguiente figura:

Los parámetros a tener en cuenta son:

J: Momento de inercia del motor

b: Constante de fricción viscosa del motor.

K_e: Constante de fuerza electromotriz.

K_τ: Constante de torque del motor.

R: Resistencia eléctrica.

L: Inductancia eléctrica.

De acuerdo con lo anterior, encuentre (a) la representación del sistema en espacio de estado, y (b) la representación del sistema en función de transferencia.

T(t)=K_τ i(t)

e_fce=K_e ω

K_e=K_τ

Para el análisis de este sistema, existe una parte mecánica y una parte eléctrica. Para la parte eléctrica:

e_L+e_R=e_i-e_fce

L di(t)/dt+Ri(t)=e_i-K dθ(t)/dt

Siendo θ, desplazamiento angular.

Reubicamos términos y dividimos en 1/L:

1/L (L di(t)/dt)=(e_i-Ri(t)-K dθ(t)/dt)(1/L)

Luego, la ecuación para la parte eléctrica nos queda así:

di(t)/dt= (-K/L) dθ(t)/dt+(-R/L)i(t)+1/L e_i

Ahora, para analizar el sistema mecánico, se considera lo siguiente:

ω=dθ(t)/dt

a(t)=(d^2 θ(t))/(dt^2 )

J (d^2 θ(t))/(dt^2 )=Ki(t)-b dθ(t)/dt

Dividiendo en 1/J, tenemos:

1/J (J (d^2 θ(t))/(dt^2 ))=(1/J)(Ki(t)-b dθ(t)/dt)

Obteniendo finalmente:

(d^2 θ(t))/(dt^2 )=(-b/J) dθ(t)/dt+K/J i(t)

Haciendo X_1:

X_1=ω(t)=dθ(t)/dt

(dX_1)/dt=(d^2 θ(t))/(dt^2 )

Asumiendo que la entrada y la salida son, respectivamente:

u(t)=e_i

y(t)=w(t)=θ^' (t)

Entonces: Parte mecánica:

(dX_1)/dt=(-b/J) X_1+(K/J)i(t)+(0) e_i

Parte eléctrica:

di(t)/dt=(K/L) X_1+R/L i(t)+1/L e_i

Obtenemos la representación del sistema en espacio de estado:

(X_1'/i')=|■(-b/J&K/J@-K/L&-R/L)||█(X_1@i)|+|█(0@1/L)|u(t)

y(t)=|1 0| |█(X_1@i)|+ |0| u(t)

Entonces, la representación en espacio de estados es:

A=|■(-b/J&K/J@-K/L&-R/L)|

B= |█(0@1/L)|

C=|1 0|

D= 0

Ahora, la representación en función de transferencia, es la siguiente:

Y(s)/(U(s))=|1 0| (s|■(1&0@0&1)|-|■(-b/J&K/J@-K/L&-R/L)|)^(-1) |█(0@1/L)|+0

Y(s)/U(s) =|1 0| ([■(s&0@0&s)]-|■(-b/J&K/J@-K/L&R/L)|)^(-1) |█(0@1/L)|+0

(Y(s))/(U(s))=|1 0| (|■(s+b/J&-K/J@K/L&s+R/L)|)^(-1) |█(0@1/L)|+0

(|■(s+b/J&-K/J@K/L&s+R/L)|)^(-1)=1/((s+b/J)(s+R/L)-((K/L)(-K/J)) ) |■(s+R/L&-(-K/J)@-K/L&s+b/J)|

(|■(s+b/J&-K/J@K/L&s+R/L)|)^(-1)= 1/(LJ/LJ ((s+B/J)(s+R/L)+K^2/LJ) ) |■(s+R/L&K/J@-K/L&s+b/J)|

(|■(s+b/J&-K/J@K/L&s+R/L)|)^(-1)=LJ/(((JS+b)(Ls+R)+K^2 ) ) |■(s+R/L&K/J@-K/L&s+b/J)|

(|■(s+b/J&-K/J@K/L&s+R/L)|)^(-1)=|■((s+R/L) LJ/(((LS+b)(Ls+R)+K^2 ) )&K/J (LJ/((JS+b)(Ls+R)+K^2 ))@-K/L (LJ/(((LS+b)(Ls+R)+K^2 ) ))&(s+b/J)(LJ/(((LS+b)(Ls+R)+K^2 ) )) )|

Luego:

Y(s)/U(s)

...