APLICACION DE DERIVADAS

APLICACION DE DERIVADAS

TEOREMA DE L’ HÔPITAL

Caso I [pic 1]Sean [pic 2]y [pic 3] dos funciones tal que:

i) [pic 4]

ii) [pic 5]

Entonces [pic 6]

Ejemplos:

1) [pic 7]                2) [pic 8]                     3) [pic 9]     

 4) [pic 10]            5) [pic 11]               6) [pic 12]   

    7) [pic 13]         8) [pic 14]       9) [pic 15]

10) [pic 16]

Respuestas:  1) [pic 17]      2) [pic 18]      3) [pic 19]        4) [pic 20]       5) [pic 21]        6) [pic 22]          7) [pic 23]        8)[pic 24]

Caso II  [pic 25]Sean [pic 26]y [pic 27] dos funciones tal que:

i) [pic 28]

ii) [pic 29]

Entonces [pic 30]

Ejemplos:

1) [pic 31]              2) [pic 32]        3) [pic 33]

Respuestas:     1)  [pic 34]             2)  1           3) 0

A veces encontramos formas indeterminadas que no son del tipo [pic 35] ni  [pic 36]. Por ejemplo otras dos indeterminaciones que se presentan con frecuencia tienen la forma  [pic 37] ó bien [pic 38]. Una manera de manejar esas expresiones es reformularlas como  [pic 39] o  [pic 40], para entonces aplicar la regla de L´Hospital.  Los ejemplos siguientes muestran este procedimiento.

Ejemplo          [pic 41]

Evaluar [pic 42]

Solución

Para emplear la regla de L ´Hospital , reformulamos la expresión de modo que tenga la forma  [pic 43] cuando  [pic 44]

[pic 45]

Esta última expresión tiene la forma  [pic 46] cuando [pic 47]. Al emplear la regla de L ´Hospital  obtenemos.

[pic 48]

Este último límite es cero, porque el numerador tiende acero y el denominador tiende a dos. Por tanto  

[pic 49]= 0

Vemos de nuevamente que podemos necesitar el empleo de la regla  de L ´Hospital   más de una vez para calcular el límite de una forma indeterminada.

1. Establecer la recta tangente si         [pic 50]en el punto P(-2,-16).

Solución:

[pic 51]

la ecuación de la recta que pasa por un punto está dada por

[pic 52]

1. Establecer la recta normal si         [pic 53] en el punto P(2,4).

Solución:

[pic 54]

evaluando esta derivada en el punto dado se obtiene la pendiente

[pic 55]

la ecuación de la recta perpendicular o normal, que pasa por un punto es

[pic 56]

1. Determinar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva         [pic 57]en el punto P(2,3).

Solución:

derivamos la función dada

[pic 58]

evaluamos para x = 2, la primera derivada

[pic 59]        [pic 60]

[pic 61]

la ecuación de la recta tangente, que pasa por el punto (2,3) corresponde a

[pic 62]

la ecuación de la recta normal, que pasa por el punto (2,3) corresponde a

...