La derivada y sus aplicaciones

Objetivo:

• El objetivó de esta actividad es aprender a usar las funciones básicas y las funciones compuestas así como  su derivadas.

Procedimiento:

• Primeramente repasar los temas de las funciones básicas puesto que estuvo un poco confuso para alguno de nosotros.
• Después ver la actividad y juntar el material de los temas 8, 9 y 10 para así facilitar la información y por consiguiente responder más rápido y mejor.
• Realizamos la actividad y comparamos los resultados con nuestros compañeros.
• Realizamos la actividad en base a los resultados que obtuvimos en clase respondiendo los ejercicios y lo pasamos en limpio para entregar el reporte de la actividad

Resultados:

1. De manera individual responde a las preguntas planteadas:
   ¿Cómo se define la función compuesta   ?  Regla de la cadena
   Explica el significado de una función compuesta:[pic 2]

1. ¿Cuántas funciones se relacionan en una función compuesta?  Dos funciones.
2. ¿Cómo se relacionan?, ¿mediante una suma, resta o qué operación?  Mediante una multiplicación.
3. ¿Cómo es una función básica? Solo tiene un argumento

1. Si [pic 3] es una función básica y  [pic 4] es una función compuesta, ¿cuál es la diferencia entre ellas? Que estamos derivando dos argumentos F(x) y g(x)
2. En la siguiente tabla escribe una función compuesta para la función básica dada:

1. Contesta a las preguntas para construir la fórmula para derivar la función compuesta [pic 13]
2. Realiza lo que se indica en los siguientes incisos, para encontrar  la derivada de la función [pic 14].

1. Escribe la función dada como un producto de funciones.  [pic 15]
2. Utiliza la regla de la derivada de un producto para obtener la derivada de la función [pic 16]
3. Escribe de forma simplificada la derivada obtenida 
   [pic 17]

1. Realiza lo que se indica en los siguientes incisos, para encontrar la derivada de la función [pic 18].

1. ¿Es válido escribir la función dada cómo[pic 19]?   Si es valido
2. Utiliza la regla de la derivada de un producto y la respuesta del problema anterior, para obtener la derivada de la función [pic 20]
3. Escribe de forma simplificada la derivada que obtuviste  [pic 21]

Parte II

1. Completa la siguiente tabla, con los resultados obtenidos anteriormente.

1. Intercambia con tus compañeros los resultados anteriores para establecer una fórmula para derivar funciones compuestas elevadas a una potencia.
   

Si [pic 26]  entonces [pic 27]

1. Observa la diferencia entre derivar la función potencia básica [pic 28]  y la función potencia compuesta [pic 29]
   ¿En qué son diferentes? Hay dos argumentos en la función compuesta.
2. Tomando como base la observación anterior, construyan las fórmulas para derivar las siguientes funciones compuestas:

1. Responde a las siguientes preguntas. Una vez que tengan todas las respuestas comparen sus resultados con las de otro equipo, para ver si coinciden o son diferentes. Si hay mucha diferencia comparen con otro equipo más, y si tienen que cambiar o hacer algún ajuste en sus respuestas corríjanlo.

1. Si una función representa una población P, ¿qué representa la derivada? El cambio de la población.
2. Si una función representa la temperatura  T de un refresco que se pone a enfriar, ¿qué representa la derivada? El cambio de la temperatura del refresco.
3. Si una función representa el valor V de un auto, ¿qué representa la derivada? El cambio en el precio del auto.
4. Si una función representa el costo de producción C de un cierto artículo, ¿qué representa la derivada? El cambio en el costo de producción.
5. Si una función representa los ingresos I obtenidos por la venta de cierta cantidad de artículos, ¿qué representa la derivada?  El cambio en los ingresos obtenidos.

1. Busquen información sobre las siguientes definiciones:

1. Costo Marginal = mide la tasa de variación del coste dividida por la variación de la producción.
   ¿Identificas alguna relación de esta definición con el concepto de derivada?

Justifica: que en las dos hay un cambio

1. Ingreso Marginal = es el cambio en el ingreso total que se produce cuando la cantidad vendida se incrementa una unidad, es decir, al incremento del ingreso total que supone la venta adicional de una unidad de un determinado bien.
2. ¿Identificas alguna relación de esta definición con el concepto de derivada? Justifica:  en las dos hay un cambio.
3. Busquen información sobre el concepto de análisis marginal, escribe lo que comprendieron y si encuentran alguna relación con el concepto de derivada:  En el análisis marginal se examinan los efectos incrementales en la rentabilidad. Si una firma está produciendo determinado número de unidades al año, el análisis marginal se ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se produce y se vende una unidad más. Permite calcular el punto de maximación de utilidades.

Parte III

1. Resuelve de manera individual el siguiente problema, después en equipo respondan a las preguntas:

1. Cada integrante del equipo tiene una hoja de máquina tamaño carta, recorta un cuadrado de cada lado y construye una caja sin tapa doblando los lados hacia arriba, tú decides las medidas del cuadrado a recortar. Una vez que tengas la caja, utiliza una regla para que midas las dimensiones de la caja y obtengas el volumen que se encierra. Escribe tus respuestas:
   Largo =  20
   Ancho= 13.5
   Altura= 4
   Volumen= 1080 cm³

1. Compara con tus compañeros los resultados obtenidos y respondan a las siguientes preguntas:

1. ¿El resultado del volumen coincide para todos los integrantes del equipo?  no
2. Si la respuesta es no, ¿a qué creen que se deba?  Utilizamos hojas de distintos tamaños y diferentes medidas al cortar las esquinas.
3. Escriban los resultados obtenidos para cada integrante del equipo:

1. Un representante de cada equipo pase al pizarrón y escriba el resultado de la tabla anterior.
   ¿Qué observan? ¿Cuántos resultados coinciden?
   dependiendo de las hojas que usamos algunos si tenían los mismos resultados
   ¿Cuál es el mayor volumen obtenido en el grupo?
   1300
   ¿Por qué hay resultado diferentes si el tamaño de la hoja es el mismo?
   Por qué utilizamos distintas maneras al momento de cortar las esquinas aunque hubo quien utilizo otras hojas.[pic 40]
2. Busquen información sobre  el concepto de optimización.

1. ¿Qué significa optimizar en un contexto matemático? Es la selección del menor elemento de un conjunto de elementos
2. ¿Qué pueden concluir comparando la actividad de construcción de la caja con el significado de optimización?

1. Escriban una conclusión grupal. Que siempre habrá costos diferentes ya sea si se decide optimizar y usar la caja con menor capacidad de volumen o si queremos maximizar usar la caja con mayor capacidad de volumen.

Conclusión:

 En esta actividad fue muy interactiva con lo de la caja, ya que tuvimos que ponerle mucha creatividad para poder hacerla, ya que utilizamos una hoja de papel tamaño carta pero cada quien puso su manera de hacerla, por lo cual quedo de diferentes medidas, también pudimos observar cómo usar una función compuesta y una función básica, los ejercicios nos ayudaron mucho para que entendiéramos más sobre estas funciones y asi pudiéramos entender más sobre el tema. También entendí que una función compuesta es una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

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