Aplicación De Derivadas

APLICACIONES DE LA DERIVADA.

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS.

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución. Entre los valores que puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño.

A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.

Si una función continua es creciente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.

Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.

Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.

Curva sin máximos ni mínimos, función sin máximos ni mínimos.

La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.

En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.

En un punto crítico máximo relativo, al pasar la función de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa.

En un punto crítico mínimo relativo, la función deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION.

Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una función, analizaremos dos mecanismos:

• Criterio de la primera derivada, utilizado para una función continua y su primera derivada también continúa.

• Obtener la primera derivada.

• Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.

• Se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo. Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.

• Sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

Ejemplo:

Aplicar el criterio de la primera derivada a la función f(x)=4x-x^3/3 y determinar donde existe un máximo o un mínimo.

Calculamos la primera derivada de la función

f'(x)=4-x^2

Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

4-x^2=0

Despejando

4-x^2=0⇒4=x^2⇒x=√4⇒x=±2

Por lo tanto

x=2 y x=-2

Para la primera raíz tenemos que los valores próximos a 2 son 3 y 1, evaluamos estos valores en la derivada obtenida.

4-(3)^2=-5

4-(1)^2=3

Se pasa de negativo a positivo, existe un punto crítico en x=2,

Evaluamos en la función original a x=2, f(x)=4x-x^3/3, f(2)=4(2)-(2)^3/3=16/3=5.3333 éste valor es un máximo de la función.

Para la segunda raíz tenemos que los valores próximos a -2 son -3 y -1, evaluamos estos valores en la derivada obtenida.

4-(-3)^2=-5

4-(-1)^2=3

Se pasa de negativo a positivo, existe un punto crítico en x=-2

Evaluamos en la función original a x=-2, f(x)=4x-x^3/3, f(-2)=4(-2)-(-2)^3/3=-16/3=-5.3333 éste valor es un mínimo de la función.

La forma de representar el resultados de los máximo y mínimos es por medio de coordenadas cartesianas (X, Y).

(2, 5.3333) Máximo y (-2, -5.3333) Mínimo (del el ejemplo anterior)

Grafica de la función anterior:

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA. Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa.

Mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.

Este procedimiento consiste en:

• Calcular la primera y segunda derivadas

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