Act 2 Reconocimiento De Actores

CALCULO INTEGRAL

Actividad 2.

Reconocimiento general y de actores

Grupo: 100411-136

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS DE LA INGENIERÍA

TECNOLOGÍA INDUSTRIAL

BOGOTÁ, D.C.

2013

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se van a realizar una serie de ejercicios relacionas con la primera unidad del módulo de CALCULO INTEGRAL, tema “La integración”.

Los ejercicios se realizaran con la colaboración de todos los integrantes del grupo, con base en lo estudiado y aprendido en el transcurso de la primera unidad, también se trabaja con el editor de ecuaciones para que sea más práctico y acertado el trabajo, el propósito del grupo es dar a conocer el conocimiento adquirido.

Con la interacción de cada uno de los integrantes del grupo, se pretende reforzar en cada uno de los temas anteriormente citados.

Realice un (1) ejercicio de libre escogencia solucionado paso a paso para cada uno de las siguientes lecciones.

Lección No 3.

∫▒〖sec^3 x*tgx〗⁡

y=secx

y´=secx*tgx

Entonces

∫▒〖sec^3 x*secx*tgx〗⁡

1/3 sec^3 x+C

Lección No 9.

Calcular el área bajo la curva de f(x)=x^2+8 en el intervalo [-2,1 ]

Solución

Δx=(b-a)/n

∆x=(1-(-2))/n=3/n

x_i=a+i∆_x → x_i=-2+i( 3/n )

f(x_i )=(x_i )^2+8=(-2+3i/n)^2+8

A_i=∆x*f(x_i )=( 4/n )[(-2+3i/n)^2+8]

A=lim┬(n→∝)⁡∑_(i=1)^n▒〖(Ai)〗=lim┬(n→∝)⁡∑_(i=1)^n▒〖∆x*f(x_i ) 〗

〖A=lim┬(n→∝)〗⁡∑_(i=1)^n▒[( 3/n )*[(-2+3i/n)^2+8]]

〖A=lim┬(n→∝)〗⁡∑_(i=1)^n▒〖( 3/n )*(4-12i/n+〖9i〗^2/n^2 ) 〗+8

Aplicando la siguientes propiedades de las sumatorias

∑_(i=1)^n▒〖c*i=〗 c∑_(i=1)^n▒i y ∑_(i=1)^n▒〖(ai+bi)=〗 ∑_(i=1)^n▒ai ∑_(i=1)^n▒〖bi 〗

A=( 3/n )[lim┬(n→∝)⁡∑_(i=1)^n▒〖12-∑_(i=1)^n▒〖12i/n+∑_(i=1)^n▒〖9i〗^2/n^2 〗〗 ]

Aplicando la siguiente propiedad de las sumatorias

∑_(i=)^n▒c=n*c

A=( 4/n )[〖lim⁡〖 〗〗┬(n→∝)⁡〖12n-12/n ∑_(i=1)^n▒〖i+9/n^2 〗〗 ∑_(i=1)^n▒i^2 ]

Para eliminar los signos de sumatoria (sigma)

∑_(i=1)^n▒〖i=(n(n+1))/2 〗 y ∑_(i=1)^n▒〖i^2=(n(n+1)(2n+1))/6〗 4

Reemplazando

A=( 3/n )[〖lim⁡〖 〗〗┬(n→∝)⁡〖12n-12/n*(n(n+1))/2〗+(9 )/n^2 *(n(n+1)(2n+1))/6]

Simplificando

A=( 3/n )[〖lim⁡〖 〗〗┬(n→∝)⁡〖12n-6*(n+1)〗+(3 )/2n*((n+1)(2n+1))/2]

A=( 3/n )[〖lim⁡〖 〗〗┬(n→∝)⁡〖12n-6*(n+1)〗+(3 )/2n*(2n^2+3n+1)]

A=( 3/n )[〖lim⁡〖 〗〗┬(n→∝)⁡〖12n-6n-6〗+3n+9/2+3/2n]

A=( 3/n )[〖lim⁡〖 〗〗┬(n→∝)⁡〖9n-3/2+〗 3/2n]

A=[〖lim⁡〖 〗〗┬(n→∝)⁡〖27+9/2n〗+9/(2n^2 )]

El límite de una expresión, cuando la variable tiende al infinito y está en el denominador esta tiende a cero,

A=[〖lim⁡〖 〗〗┬(n→∝)⁡〖27+0〗+0]

A=27u^2

Lección No 15.

Calcular:

∫_(-1)^1▒〖 tan⁡x/(1+x^2+x^4 ) dx 〗

Para desarrollar este punto debemos tener claro:

tan⁡x=Sen⁡x/Cos⁡x

〖Sen(-〗⁡〖x)=-Sen⁡x 〗

〖Cos(-〗⁡〖x)=Cos 〗 x

Verificar si es “par o impar”

f(x)=tan⁡x/(1+x^2+x^4 )

f(-x)=(tan⁡〖(-x〗))/(1+(-〖x)〗^2+〖(-x)〗^4 )

Sen/Cos=(funcion par)/(funcion impar)=funcion impar

f(-x)=(-tan⁡x)/(1+x^2+x^4 ) es una funcion impar

f(-x)=- f(x)

Entonces se tiene:

∫_(-1)^1▒〖 tan⁡x/(1+x^2+x^4 ) dx=0 〗

Hallar la solución de la siguiente integral indefinida

∫▒(2x-〖3x〗^2 )dx

La propiedad “la integral donde hay sumas o restas se puede separar en varias integrales”

∫▒(2x-〖3x〗^2 )dx

Separamos la integral

∫▒〖x^2 dx=〗 ∫▒〖2x-∫▒〖3x〗^2 〗

Este caso se puede solucionar con la siguiente fórmula de “integral inmediata” así:

∫▒〖x^2 dx=x^(n+1)/(n+1)+c〗

Se remplaza la formula

=∫▒〖(2x^(1+1))/(1+1)+c-∫▒〖(3x^(2+1))/(2+1)+c〗〗

=∫▒〖(2x^(1+1))/(1+1)+c-∫▒〖(3x^(2+1))/(2+1)+c〗〗

=∫▒〖(2x^2)/2+c-∫▒〖(3x^3)/3+c〗〗

=∫▒〖(2x^2)/2+c-(3x^3)/3+c〗

Finalmente simplificamos

∫▒〖x^2-x^3+c〗

Hallar la solución de la siguiente integral definida:

∫_(-3)^3▒〖(v^(1/3))dv〗

Solución:

Este caso se puede solucionar con la siguiente fórmula de “integral inmediata” así:

∫▒〖x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+c〗

Remplazando la formula

∫_(-3)^3▒〖 v^(1/3+1)/(1/3+1)〗

No colocamos la C ya que es una integral definida

∫_(-3)^3▒〖 v^(4/3)/(4/3)〗

4/3 ∫_(-3)^3▒〖 v^(4/3) 〗

4/3 ∫_(-3)^3▒〖 v^(4/3) 〗

Evaluando tenemos

4/3 (∛(v^4 )) ⃒_(-3)^3

4/3 (∛(3^4 )-∛(3^4 ))

4/3 (0)=0

Para este ejercicio la respuesta es A. = 0

Hallar la solución particular para la siguiente ecuación diferencial:

f´´=2, f´(2)=5, f(10)=2

f´´=2

f´=∫▒〖2=〗 2x+C

f=∫▒〖2x+C=〗 x^2+Cx+D

Ahora realizamos las igualdades,

f´(2)=5 Luego 2(2)+C=5

4+C=5

C=1

f(2)=10 Luego 2^2+2+D=10

4+2+D=10

6+D=10

D=4

Reemplazamos en f, Obtenemos:〖 x〗^2+x+4

Para este ejercicio la respuesta es D: X2 + X + 4

La solución de la siguiente integral

∫▒x/√(3-x^4 ) dx

Se puede desarrollar por sustitución así:

u=x^2

Despejando

du=2xdx

Sustituimos en la integral

∫▒(1du/2)/((√3)^2-u^2 )

= 1/2 ∫▒(1du/2)/(√3-u^2 ) du

=1/(2√3) ∫▒1/√(1-u^2/3)

Para el integrando

1/√(1-u^2/3) sustituimos

s=u/√3 y ds=1/√3

Por función trigonométrica

1/2 ∫▒1/(1-s^2 ) ds=

1/(1-s^2 ) es equivalente a:〖sen〗^(-1) (s)+C

Sustituimos

s=u/√3

=1/2 〖sen〗^(-1) (u/√3)+C

Sustituimos

u=x^2

=1/2 〖sen〗^(-1) (x^2/√3)+C

Para este ejercicio la respuesta es C

Conclusiones

Bibliografía

...