Cada número que está dentro de la matriz se le llama elemento y cada elemento está identificado por su posición.

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS

“ESPE”

CUADERNO DIGITAL DE ALGEBRA LINEAL

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NOMBRE: Marco Antonio Villacis Narvaez

DOCENTE: Washington Loza

CURSO: Primero Petroquimica “A”

PERIODO: Abril – Agosto 2016

MATRICES

Agrupamiento de números reales, creando filas y columnas de un n*n; m*m.

Cada número que está dentro de la matriz se le llama elemento y cada elemento está identificado por su posición.

El tamaño de la matriz depende de la cantidad de filas y columnas. (3*3).

EJEMPLO:

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ALGEBRA DE MATRICES

SUMA Y RESTA DE MATRICES._Dadas dos matrices del mismo orden A y B, de la matriz B se mantiene del mismo orden que se obtiene sumando o restando los elementos de A y B colocados en el mismo lugar.

Dos matrices se pueden sumar o restar solamente si ambas tienen el mismo tamaño.

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A+B=NO                    [pic 5]

B+C=NO

A+C=SI

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

• Asociativa

(A+B)+C = A+(B+C)

• Conmutativa        

(A+B) = (B+A)

• Existencia de un elemento neutro aditivo

A+0 = A

• Existencia de un inverso aditivo

 A+D         D = -A            =  0[pic 7][pic 6]

Ejemplo:

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PRODUCTO POR UN ESCALAR._ para multiplicar una matriz A por un numero real cualquiera multiplicamos el número real por cada uno de los elementos de la matriz.

El producto por el escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño que la original.

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PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR UN ESCALAR

• Asociativa

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• Distributiva respecto a la suma de matrices

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• Distributiva respecto a la suma en el campo

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• Producto del neutro multiplicativo en el campo

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PRODUCTO O MULTIPLICACION DE MATRICES._ para poder multiplicar dos matrices sean estas Ay B se debe considerar que el numero de columnas de A tiene que coincidir con el numero de filas de B.

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PROPIEDADES DE PRODUCTO O MULTIPLICACION DE MATRICES

• Asociativa

A.(B.C) = (A.B).C

• Distributiva respecto a la suma por la derecha

(A+B).C = A.C + B.C

• Distributiva respecto a la suma por la izquierda

A.(B+C) = A.B + A.C

Ejemplo:

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TIPOS DE MATRICES

• Matriz Nula._ es una matriz en la cual todos sus elementos son cero.

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• Matriz Fila._ este tipo de matriz contiene una sola fila.

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• Matriz Columna._ esta matriz contiene una sola columna.

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• Matriz Cuadrada._ este tipo de matriz contiene tanto el mismo número de filas como el mismo número de columnas.

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• Matriz Triangular Superior._ este tipo de matrices sus elementos situados por debajo de su diagonal superior son cero.

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• Matriz Triangular Inferior._ los elementos situados sobre la diagonal inferior son ceros.

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• Matriz Diagonal._ en esta matriz los elementos situados tanto encima como por debajo de la diagonal principal son cero.

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Ejercicios

1. Un fabricante de sacos produce en color negro, azul y rojo; hombre, mujeres, niños la capacidad de miles en la planta A esta dada por la matriz y la planta b. Determinar:

1. Obtener la representación matricial de la producción total de cada tipo en ambas plantas
2. Si la producción de A se incrementa 15% y la de B 30% encuentre la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de saco.

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1. El costo en dólares de comprar un boleto aéreo en la ciudad de A a cada una de las ciudades B, C, D y E está relacionada con la matriz; la directiva de la aviación aprueba el incremento del 12% a las tarifas. ¿Cuál sería el valor de las nuevas tarifas?

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• Matriz Escalar._ es una matriz diagonal donde los elementos de la matriz principal son iguales.

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• Matriz Unidad._ es una matriz diagonal donde los elementos de la matriz principal son 1.

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MATRICES ESPECIALES

• Submatriz._ es una matriz que resulta de suprimir una o más filas o columnas de una matriz dada.

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• Hipermatriz._ son un conjunto de matrices una sobre la otra cuyos elementos pueden ser: números, caracteres, vectores o matrices de celda.

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Ejercicios

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• Matrices Iguales.- Dadas las matrices A y B de igual orden se dice que son iguales si y solo si los elementos correspondientes a cada uno de esas matrices son iguales.

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CLASIFICACION DE MATRICES CUADRADAS

• Matriz Transpuesta-_ la transpuesta de una matriz se forma al escribir sus columnas como filas.

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• Matriz Simétrica._ una matriz simétrica es aquella que al realizar el cambio de sus columnas por sus filas queda representada de la misma forma original.

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• Matriz Antisimétrica._ son todas las matrices cuadradas que tienen iguales y de distinto signo los elementos que guardan una posición simétrica a la diagonal principal.
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PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA

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La matriz antisimetrica es igual a una matriz transpuesta cambiada de signos

• Matriz Inversa._ se dice que una matriz cuadrada es inversa si existe una matriz B con la propiedad de que A.B = B.A = I

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PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA

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Ejercicios

• Demuestre que B es inverso de A.

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CORRECCION DE LA PRUEBA

1. Un comerciante de radios tiene 10 radio tipo1, 15 tipo2, 8 tipo3, los radios de tipo1 se venden a 60$, tipo2 a 47$, tipo 3 a 40$. Calcular el precio de venta

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1. Tres maquinas de gaseosas se localizan en un centro comercial. El contenido de estas maquinas se representan en la siguiente matriz, los elementos radican el # de lata de c/tipo de gaseosa que contiene cada máquina. Suponga que la matriz de es, donde c/tipo indican que venden cada máquina. Hallar el inventario

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1. Dada las dos matrices propuestas multiplicar ExF

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1. Dada la siguiente matriz A y B calcular la resultante de la siguiente matriz.

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• Matriz Elemental._ una matriz elemental de orden n es el conjunto de matrices que se obtiene de la matriz identidad aplicando solo una matriz universal de fila o columna.

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• Matriz Conjugada._ es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz A por su conjugada; es decir la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambia de signo.

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PROPIEDADES DE LA MATRIZ CONJUGADA

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• Matriz Hermítica._ es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia transpuesta conjugada, es decir, el elemento de la i-ésima y j-ésima columna son iguales.

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PROPIEDADES DE LA MATRIZ HERMITICA

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• Matriz Antihermítica o Hermitiana._ es una matriz cuadrada cuya transpuesta conjugada es menor que la matriz.

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• Matriz Nilpotente._ una matriz A ϵ Mn se denomina nilpotente sw orden r, si r es el menor entero positivo tal que:    [pic 96]

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• Matriz Idempotente._ es una matriz la cual es igual a su cuadrado es decir:

A es Idempotente si [pic 99]

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• Matriz Involutiva._ es una matriz cuadrada tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad, es decir, que A es igual a su inversa.

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• Matriz Ortogonal._ es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz transpuesta.

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DEBER

• Realice  ejemplos de las siguientes matrices:

• Matriz Elemental

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• Matriz Conjugada

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• Matriz Hermítica

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