Calculo Diferencial

Repaso de Limites

El límite es una constante que tiende a otra constante, Cuyo valor es otra constante exceptuando el caso de indeterminación.

Para que exista el límite, los límites unilaterales (por la izquierda y por la derecha) deben de existir y deben ser iguales. El limite de la función nos 9nteresa en sus alrededores y no exactamente en el valor y.

Mayores por la derecha , menores por la izquierda.

Lim y= x2 +3 = 7

x→ 2

x- y x+

1.9 6.61 2.1 7.41

1.99 6.9601 2.01 7.04

1.999 6,9960 2.001 7.004

↓ ↓ ↓ ↓

2 7 2 7

Lim Y= x2 +3 = (2)2 +3 = 7→ no se puede en los casos de

x→2 indeterminacion.

Ejemplo :

Lim Y = x2 -4 / x-2

x→2

(2)2-4/ 2-2= 0/0 indeterminado. 0/0 ∞/∞

Se tiene que resolver por factorización o racionalización.

Lim y= x2 -4/ x-2 = (x-2)(x+2)/ (x-2)= x+2= 2+2 =4

x→2 x→2

Estudiar factorización.

Factor común-monomios y polinomio

Por agrupación de términos

Por t.c.p

De la forma x2+bx+c

De la forma Ax2 +bx+c

Por diferencia de cubos

Por diferencia de cuadrados

Por evaluación

Completando cuadrados

Por suma de cubos.

Racionalizaciones

(√x- √y)/4 √x+y a2 –b3

Teorema sobre límites

1.- el límite de una constante es una constante o la misma constante, sin importar Asia donde tiende la variable.

Y= 5 → constante

x→6 →variable

2.- el límite de una suma de funciones cuando x tiende a un número es la suma de sus límites.

Lim = y= 2x2+3x-1 = 2(2)2 +3(2)-1

El límite de una resta de funciones cuando la variable tiende a una constante es la resta de sus límites.

Lim y= 3x3 -2x = 3(1)3 -2(1) =1

x→1

El limite de un producto funciones cuando la variable tiende a una constante es el producto de sus limites.

Lim Y =( x-1)(x2-5) = (-4-1)(16-5) = 55

x→-4

El limite de una constante de funciones cuando la variable tiende a una constante es el cociente de sus limites.

Lim y= 3x2 -2x-5 /x-5 =3(2)2 -2(2) -5/2-5 = 3/3 =1

x→2

Límite de una potencia cuando la variable tiende a una constante es la potencia de sus límites.

Lim f(x) = (3x3-1)2 =(3(5)3-1)2 = (3(25)-1)2=( 375-1)2 = (374)2 = 139876

x→5

lim ∞/∞

lim y= 3x2 -5x-1 / x-5 = ∞/∞ factoriza usando la variable más grande.

x→∞

lim = x2( 3-5/x -1/x2) / x (1-5/x) pero lim = c/x =0

x→∞ x→∞

lim = 3x2/ x = 3x = ∞ no tiene limite

lim f(x) = x-5/ 3x2 -5x-1 = menor /mayor

x→∞

x(1-5/x) / x2 (3-5/x- 1/x2) = x/3x2 = 1 /3x = 0

lim f(x)= 3x2 -5x-1 / x2-5 = ∞/∞

x2 (3-5/x -1/x2) / x2 ( 1-5/x2)

3x2/ x2 3/1 = 3

Los pasos del ∞/∞ para encontrar el limite solo funciona para cuando x→∞.

REGLA: para encontrar el limite de una función infinito sobre infinito podemos considerar lo siguiente.

1.- si el grado del numerador es mayo que el grad del denominador tiande a infinito.

2.- si el grado del numerador es menor que el denominador el limite es 0 , si el grado del numerador es igual al grado del denominador el limite es el resultado de dividir los números que acompañan a las variables que tienen el mismo grado.

Ejemplos :

Lim

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